Ejercicios: Números irracionales

Clasifica los siguientes números indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números irracionales y cuáles no. Justifica tu respuesta basándote en su expresión decimal:

1. a) $3,14159$
2. b) $\sqrt{7}$
3. c) $\frac{22}{7}$
4. d) $1,1010010001...$
5. e) $\sqrt{25}$

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. a) Todos los números decimales con infinitas cifras son irracionales.
2. b) La raíz cuadrada de cualquier número natural es un número irracional.
3. c) El número $\pi$ se puede escribir exactamente como una fracción.
4. d) La suma de un número racional y un número irracional siempre es irracional.

Para representar el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta numérica utilizando el Teorema de Pitágoras, necesitamos encontrar dos números enteros cuyos cuadrados sumen $13$. Indica cuáles son esos dos números y dibuja un boceto mental de cómo formarías el triángulo rectángulo.

Trunca y redondea el número irracional $\sqrt{11} = 3,31662479...$ a las centésimas y a las milésimas. Organiza los resultados en una tabla.

Identifica qué patrón siguen las cifras decimales del siguiente número y explica por qué se considera un número irracional:

$x = 0,12345678910111213...$

El número de oro, representado por la letra griega $\Phi$ (Fi), tiene un valor exacto de $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Utiliza tu calculadora para encontrar su expresión decimal y escribe las primeras seis cifras decimales. ¿Se trata de un número racional o irracional?

Calcula el resultado de las siguientes operaciones y clasifica el resultado final como racional o irracional:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $(\sqrt{5})^2$
4. d) $\pi - \pi$

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes ayudarte de sus aproximaciones decimales:

$3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3,1416$

Un campo de fútbol tiene unas dimensiones de $100$ m de largo por $50$ m de ancho. El equipo de mantenimiento necesita trazar una tubería de riego que cruce el campo en diagonal. Calcula la longitud exacta de la tubería utilizando radicales. ¿Es esta longitud un número racional o irracional? Aproxima el resultado a dos cifras decimales para saber cuántos metros de tubería deben comprar.

La proporción áurea se utiliza a menudo en el arte y la arquitectura. Un marco para un cuadro se ha diseñado de forma que sea un "rectángulo áureo". Si el lado menor del marco mide $20$ cm, el lado mayor debe medir $20 \cdot \Phi$ cm, siendo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Calcula la longitud exacta del lado mayor y su aproximación en centímetros redondeada a las décimas.

El período $T$ (en segundos) de un péndulo simple, es decir, el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa, se calcula con la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad ($9,8$ m/s$^2$). Calcula el período exacto de un péndulo de $9,8$ metros de longitud. ¿El resultado es un número racional o irracional?

Observa la siguiente representación gráfica en la recta numérica. Se ha construido un triángulo rectángulo apoyado sobre el eje horizontal.

Calcula el valor exacto de la hipotenusa $h$. ¿Qué número irracional representa el punto rojo $X$ sobre la recta numérica?

En una fábrica de piezas mecánicas, se debe cortar una plancha circular cuyo radio es exactamente de $40$ cm. El torno automático necesita que se introduzca el perímetro de la circunferencia para realizar el corte.

1. a) ¿Cuál es el perímetro exacto de la pieza?
2. b) Si el operario introduce el valor aproximado usando $\pi = 3,14$, ¿cuál es el error absoluto que comete respecto al valor real (usando todas las cifras de $\pi$ en la calculadora)?

En el béisbol, las bases forman un cuadrado perfecto de $90$ pies de lado ($27,43$ metros). Cuando el receptor lanza la pelota desde la base de "home" (inicio) hasta la segunda base para evitar un robo, la pelota cruza el campo en diagonal. Calcula la distancia exacta en metros que recorre la pelota. ¿Es una cantidad racional o irracional?

Una empresa de tecnología está diseñando una nueva pantalla de televisión. Quieren que la relación entre el ancho y el alto sea exactamente $\sqrt{2}$ para que, al dividir la pantalla por la mitad, los dos rectángulos resultantes mantengan la misma proporción (como ocurre con los folios de tamaño DIN A4). Si la altura de la pantalla va a ser de $50$ cm, ¿cuál debe ser su anchura exacta? Aproxima el resultado a los milímetros.

Para construir un panal artificial, un apicultor diseña celdas con forma de hexágono regular. Sabiendo que el área de un hexágono regular de lado $L$ se calcula con la fórmula $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$, calcula el área exacta de una celda si su lado mide $4$ mm. ¿Se trata de un número racional o irracional?

En el diseño de un logotipo se utiliza un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm, como se muestra en la figura.

Sabiendo que en un triángulo equilátero el radio $R$ es el doble de la apotema $a$, calcula el valor exacto de la apotema $a$. Luego, utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud exacta del lado $L$. Demuestra que el perímetro del triángulo es un número irracional.

Se quiere vallar una parcela circular de $100$ m$^2$ de área y una parcela cuadrada que también tiene $100$ m$^2$ de área.

1. a) Calcula el perímetro exacto de ambas parcelas. (Recuerda que el área del círculo es $A = \pi r^2$).
2. b) Si la valla cuesta $15$ € el metro, ¿qué parcela será más barata de vallar? Utiliza todos los decimales de tu calculadora para dar el coste exacto en euros de cada una.

Observa el siguiente cubo de lado $a = 5$ cm. La diagonal de una de sus caras se llama $d$, y la diagonal principal que cruza el cubo por el interior se llama $D$.

Calcula el valor exacto de la diagonal de la base ($d$) y, utilizándola como cateto junto con la altura del cubo, calcula la longitud exacta de la diagonal principal ($D$). ¿Es posible que en un cubo de arista entera su diagonal principal sea un número racional?

En una clase de matemáticas, el profesor propone el siguiente reto: "Si a un número irracional le sumamos otro número irracional, ¿el resultado siempre es irracional?".

Encuentra dos números irracionales distintos cuya suma sea un número racional entero y demuestra con operaciones algebraicas sencillas que esto es posible.

La famosa "Espiral de Teodoro" se construye dibujando triángulos rectángulos contiguos. El primero tiene catetos de longitud $1$. La hipotenusa de este triángulo sirve como cateto del siguiente, cuyo otro cateto vuelve a medir $1$, y así sucesivamente.

Calcula el valor exacto de las hipotenusas $h_1$, $h_2$ y $h_3$. Siguiendo este patrón lógico, ¿cuál será el valor exacto de la hipotenusa $h_8$ del octavo triángulo? ¿Es racional o irracional?

En una práctica de laboratorio, la cantidad de producto obtenido en una reacción química, en miligramos, sigue la fórmula $P = 2 \cdot e^t$, donde $t$ es el tiempo en horas y $e$ es el número irracional de Euler ($e \approx 2,71828$).

Calcula la cantidad estimada a las $3$ horas usando el valor de $e$ de tu calculadora. Si por error un alumno usó la aproximación $e = 2,7$, ¿cuántos miligramos de diferencia habrá respecto al cálculo más preciso?

Sabiendo que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$, imagina que queremos construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área que un círculo de radio $10$ cm. (Este es el antiguo problema matemático de la cuadratura del círculo).

Halla la expresión exacta de la longitud del lado de ese cuadrado. ¿Es posible medir con una regla graduada en milímetros ese lado de forma exacta en el mundo real? Justifica tu respuesta.

Considera la sucesión de números formada al escribir ceros y unos de la siguiente manera: empezamos con un $0,1$, luego añadimos un $0$ y un $1$, luego dos $0$ y un $1$, luego tres $0$ y un $1$, y así sucesivamente hasta el infinito.

El número resultante es $N = 0,101001000100001...$

Analiza la estructura de este número y justifica de forma razonada por qué $N$ pertenece al conjunto de los números irracionales y no puede expresarse como una fracción $\frac{a}{b}$.