Ejercicios: Vectores en el plano

Dados los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$, calcula las componentes del vector $\vec{AB}$ y su módulo.

Considera los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 4)$. Calcula las componentes del vector resultante de la operación $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Determina las coordenadas del punto medio $M$ del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, 7)$ y $Q(2, -3)$.

El punto $M(1, 2)$ es el punto medio del segmento $AB$. Si conocemos las coordenadas del extremo $A(-3, 5)$, halla las coordenadas del extremo $B$.

Observa los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ representados en la cuadrícula. Escribe sus componentes y calcula analíticamente las coordenadas del vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Indica si los vectores $\vec{a} = (6, -9)$ y $\vec{b} = (-2, 3)$ son paralelos (tienen la misma dirección). Justifica tu respuesta matemáticamente.

Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{p} = (4, 5)$ y $\vec{q} = (-2, 3)$. A partir del resultado, indica si son perpendiculares.

Halla los posibles valores de $x$ para que el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tenga un módulo exactamente igual a $10$.

Un dron de reparto vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v}_d = (12, 5)$ km/h. En ese instante, el viento sopla con una velocidad $\vec{v}_v = (-3, 2)$ km/h. Calcula el vector velocidad real del dron y su rapidez (el módulo del vector resultante).

Para instalar un panel solar con forma de paralelogramo $ABCD$, los técnicos han fijado tres de sus vértices en las coordenadas $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(6, 6)$ (en metros). Calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$ utilizando operaciones con vectores.

En el diseño de un puente, tres pilares deben estar perfectamente alineados. En el plano del arquitecto, las bases de los pilares están situadas en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ y $R(8, k)$. Determina el valor de $k$ para que la alineación sea correcta.

En un experimento de física, se aplican dos fuerzas $\vec{F}_1 = (2, -1)$ N y $\vec{F}_2 = (-1, 3)$ N. Queremos obtener una fuerza resultante $\vec{R} = (4, 3)$ N combinando las dos primeras mediante un sistema que multiplica su intensidad. Halla los valores de los escalares $a$ y $b$ tales que $\vec{R} = a\vec{F}_1 + b\vec{F}_2$.

Una tubería rectilínea conecta una estación de bombeo $A(-15, 20)$ con un depósito $B(45, -12)$ (coordenadas en metros). Se quiere instalar una válvula de control exactamente en el punto medio del trayecto. Calcula las coordenadas donde se ubicará la válvula y la longitud total de la tubería.

En una mesa de billar, una bola es golpeada y sigue la trayectoria del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Tras rebotar en la banda, su nueva trayectoria está dada por el vector $\vec{v} = (-3, k)$. Calcula el valor de $k$ para que la trayectoria de rebote forme un ángulo de $90^\circ$ con la trayectoria de llegada.

Un rayo láser parte de una fuente situada en $F(-3, -2)$ y se refleja en un espejo plano que coincide con el eje de abscisas (eje X). Si el punto exacto de impacto en el espejo es $I(1, 0)$, halla las coordenadas del punto simétrico de $F$ respecto al espejo y escribe las componentes del vector que define la trayectoria reflejada.

Averigua si el triángulo formado por las antenas de telecomunicaciones situadas en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ y $C(9, -1)$ es un triángulo rectángulo. Utiliza el producto escalar de los vectores que forman sus lados para justificar tu respuesta.

Una viga de acero cuyos extremos están en las coordenadas $A(-4, 2)$ y $B(8, 14)$ debe cortarse en tres partes idénticas para fabricar soportes. Calcula las coordenadas de los dos puntos de corte $P$ y $Q$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes de igual longitud.

Determina las coordenadas de un punto $P$ situado sobre el eje de ordenadas (eje Y) que se encuentre a la misma distancia de los puntos $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.

Considera los vectores dependientes de un parámetro $\vec{u} = (m, 2)$ y $\vec{v} = (3, m-1)$. Halla los valores del parámetro $m$ en dos casos geométricos distintos:

1. a) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean perpendiculares.
2. b) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean paralelos.

Cuatro boyas delimitan una zona de reserva marina en los puntos $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 5)$ y $D(-1, 3)$. Demuestra en primer lugar, utilizando vectores, que la figura formada es un paralelogramo. A continuación, calcula el producto escalar de sus diagonales para comprobar si se trata específicamente de un rombo.

Encuentra las componentes de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-5, 12)$ y cuyo módulo sea exactamente la mitad del módulo de $\vec{u}$. ¿Cuántas soluciones matemáticas existen para $\vec{w}$? Escríbelas todas.

Dos remolcadores tiran de un barco averiado situado en el origen de coordenadas. El primer remolcador ejerce una fuerza definida por el vector $\vec{F}_1 = (6, 8)$ kN. El segundo remolcador ejerce una fuerza $\vec{F}_2$. Sabiendo que la fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ tiene la dirección del eje X positivo y un módulo de $12$ kN, determina las componentes del vector $\vec{F}_2$ y calcula su módulo.

Los puntos $A(-1, 3)$ y $B(5, -5)$ representan dos vértices opuestos de un terreno con forma de cuadrado $ABCD$. Calcula la longitud de la diagonal del cuadrado y el área total del terreno. A continuación, halla las coordenadas del centro exacto del cuadrado.

El baricentro $G$ (centro de gravedad) de un triángulo siempre se encuentra a una distancia de $\frac{2}{3}$ desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Si los vértices de una placa triangular metálica son $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ y $C(4, 8)$, halla primero el punto medio $M$ del lado $BC$. Luego, usando el vector $\vec{AM}$, calcula las coordenadas exactas del baricentro $G$.