Ejercicios: Tasa de variación, tasa de variación media y tasa de crecimiento

La siguiente tabla muestra la temperatura $T$ (en $^{\circ}C$) de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos).

• Para $t = 0$, $T = 15$

• Para $t = 1$, $T = 18$

• Para $t = 2$, $T = 24$

• Para $t = 3$, $T = 32$

• Para $t = 4$, $T = 45$

• Para $t = 5$, $T = 60$

Calcula la Tasa de Variación (TV) y la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[2, 5]$.

Dada la función afín $f(x) = 4x - 5$, calcula su tasa de variación media en los intervalos $[-2, 1]$ y $[3, 6]$. ¿Qué conclusión puedes extraer sobre la tasa de variación media de las funciones lineales?

Calcula la tasa de variación media de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en el intervalo $[1, 4]$.

El gráfico muestra el crecimiento de una planta, donde $h(t)$ es la altura en centímetros y $t$ el tiempo en semanas. A partir de la gráfica, calcula la tasa de variación media de la altura en el intervalo $[1, 4]$.

Un ciclista recorre una distancia dada por la función $d(t) = 3t^2 + 2t$, donde $d$ se mide en metros y $t$ en segundos. Halla la velocidad media del ciclista, que equivale a la tasa de variación media de la posición, entre los instantes $t = 2$ y $t = 5$.

Sabiendo que la tasa de variación media de una función $f(x)$ en el intervalo $[2, 6]$ es igual a $5$, y que $f(2) = 7$, determina el valor de $f(6)$.

Calcula la tasa de variación media de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{24}{x}$ en el intervalo $[2, 8]$.

El saldo $S$ (en euros) de una cuenta de ahorros en función del tiempo $t$ (en meses) viene dado por la expresión $S(t) = 150 + 25t$. Determina la tasa de variación media en el intervalo $[0, 6]$ e interpreta el resultado numérico en el contexto del problema.

El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcula la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.

Las visualizaciones de un vídeo viral crecen siguiendo el modelo matemático $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $N$ es el número de visualizaciones en miles y $t$ se mide en días. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. Compara los resultados y explica qué indican sobre el ritmo de crecimiento del vídeo.

Determina el valor del parámetro $a$ para que la tasa de variación media de la función cuadrática $f(x) = ax^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[1, 5]$ sea exactamente igual a $14$.

La siguiente gráfica muestra el número de espectadores $V(t)$, en miles, de las retransmisiones de un torneo de e-sports durante los primeros $5$ meses de la temporada. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. Interpreta el significado de los signos obtenidos en cada caso.

Desde un puente alto se deja caer una piedra. La altura $h$ (en metros) respecto a la superficie del agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la ecuación $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[1; 2,5]$. ¿Qué magnitud física representa este valor y por qué tiene signo negativo?

Dada la función con radical $f(x) = \sqrt{2x - 3}$, halla su tasa de variación media en los intervalos $[2, 6]$ y $[6, 14]$.

El volumen $V$ (en litros) de agua en un depósito industrial que se está vaciando viene dado por la función $V(t) = 500 - 10t - t^2$, donde $t$ se mide en minutos. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$. ¿En qué intervalo de tiempo se vacía más rápido el depósito?

Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[2, 5]$ y utiliza este valor para escribir la ecuación de la recta secante a la gráfica de $f(x)$ que pasa por los puntos de abscisa $x = 2$ y $x = 5$.

Dada la siguiente función definida a trozos, calcula la tasa de variación media en el intervalo $[1, 4]$.

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

El valor de un coche se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en euros. Calcula la tasa de crecimiento porcentual en el primer año (intervalo $[0, 1]$) y explica el significado práctico de su signo.

El nivel de agua de un embalse (en hectómetros cúbicos) durante los meses de verano sigue la función $N(t) = \frac{120}{t+1}$, donde $t$ es el número de meses transcurridos ($t=0$ es el inicio de junio, $t=1$ es el inicio de julio, etc.). Calcula la tasa de variación media entre el inicio de junio y el inicio de agosto ($t=2$) y la tasa de crecimiento porcentual en ese mismo periodo.

El precio de un producto tecnológico era de $800$ € en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $640$ €. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcula la tasa de variación media mensual y la tasa de crecimiento porcentual total en esos dos primeros meses.

Obtén la expresión algebraica simplificada para la tasa de variación media de la función $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, donde $h > 0$.

La distancia de frenado $d$ (en metros) de un vehículo en función de su velocidad $v$ (en km/h) se modeliza mediante la función $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[40, 60]$ y $[100, 120]$. Explica razonadamente por qué el incremento promedio de la distancia de frenado es mucho mayor a altas velocidades.

El gráfico muestra la distancia al punto de partida $d(t)$ en km de un ciclista a lo largo de un entrenamiento de $5$ horas. Calcula la tasa de variación media en el intervalo completo $[0, 5]$ y justifica, analizando la gráfica, en qué intervalo de una hora el ciclista alcanzó la mayor velocidad instantánea.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx & \text{si } x < 3 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la tasa de variación media de $f(x)$ en el intervalo $[1, 5]$ es igual a $4$.

El número de seguidores $S$ (en miles) de un canal de vídeos en función del número de vídeos publicados $x$ sigue el modelo $S(x) = \frac{120x}{x + 10}$. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[10, 20]$ y $[40, 50]$. Interpreta a partir de los resultados obtenidos el fenómeno de que cada nuevo vídeo aporta cada vez menos seguidores nuevos.

Un rectángulo se inscribe en un triángulo rectángulo de base $10$ cm y altura $8$ cm, apoyando dos de sus lados sobre los catetos. El área del rectángulo en función de su base $x$ viene dada por la expresión $A(x) = x(8 - 0,8x)$. Calcula la tasa de variación media del área en los intervalos $[2, 4]$ y $[6, 8]$. Interpreta el cambio de signo de la tasa de variación media en este contexto geométrico.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcula y compara la tasa de variación media en los intervalos $[1, 2]$ y $[-2, -1]$. Justifica analíticamente por qué se obtiene el mismo resultado utilizando la simetría impar de la función.

Una función $f(x)$ tiene la propiedad de que su tasa de variación media en cualquier intervalo $[a, b]$ es siempre constante e igual a $-4$. Si se sabe que la gráfica de la función pasa por el punto $(3, 10)$, determina la expresión analítica de $f(x)$ y calcula el valor exacto de $f(8)$.

La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en metros y $t$ en segundos). Encuentra el instante exacto de tiempo $t > 1$ para el cual la velocidad media (que coincide con la tasa de variación media) en el intervalo $[1, t]$ es exactamente de $25$ m/s.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la tasa de crecimiento porcentual de la función $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en el intervalo $[2, 8]$ sea exactamente del $-60\%$. ¿Depende el resultado final del valor inicial de $k$? Razona tu respuesta algebraicamente.

Dos amigos comparan el crecimiento de sus canales de vídeo. El canal A gana seguidores según el modelo lineal $S_A(t) = 100t + 500$, y el canal B según el modelo exponencial $S_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (donde $t$ se mide en días y $S$ en seguidores). Calcula la tasa de crecimiento porcentual de ambos canales en el intervalo $[2, 4]$ y determina cuál experimenta un crecimiento relativo mayor en ese periodo.

Sea la función exponencial $f(x) = 2^x$. Calcula la tasa de crecimiento porcentual en los intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ y $[3, 4]$. A partir de los resultados obtenidos, demuestra algebraicamente que para cualquier intervalo de la forma $[n, n+1]$ (con $n \in \mathbb{N}$), la tasa de crecimiento porcentual de esta función es siempre constante.