Ejercicios: Conceptos básicos

Dada la función polinómica $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Un servicio de alquiler de bicicletas cobra una tarifa fija de $3$ euros por el alta del servicio, más $1,50$ euros por cada hora de uso. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el coste total con el tiempo de uso, e identifica cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente.

Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4$ en los intervalos $[-1, 2]$ y $[2, 5]$.

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas exactas de sus máximos y mínimos relativos.

Determina algebraicamente si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen ningún tipo de simetría:

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, indica en forma de intervalo su dominio y su recorrido.

Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$.

La distancia $d$ (en metros) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo $t$ (en segundos) se aproxima mediante la función $d(t) = 5t^2$. Calcula la velocidad media del objeto (que se corresponde con la Tasa de Variación Media) entre el primer y el tercer segundo ($t \in [1, 3]$), y entre el tercer y el quinto segundo ($t \in [3, 5]$).

Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Dada la siguiente gráfica de una función definida a trozos, halla los valores de $f(-2)$, $f(1)$ y $f(4)$. A continuación, indica en qué puntos la función es discontinua y de qué tipo es cada discontinuidad.

Determina analíticamente la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Una empresa de taxis cobra $3$ euros por la bajada de bandera y $1,20$ euros por cada kilómetro recorrido.

1. a) Escribe la función que relaciona el precio total del trayecto con los kilómetros recorridos.
2. b) ¿Cuál es el dominio de esta función teniendo en cuenta el contexto del problema?
3. c) ¿Cuánto costará un trayecto de $15$ km?
4. d) Si un cliente ha pagado $21$ euros, ¿cuántos kilómetros ha recorrido?

La gráfica adjunta representa la altura en metros a la que se encuentra una cabina de una noria en función del tiempo en minutos. Observa la gráfica y responde:

1. a) ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica su periodo.
2. b) ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la cabina?
3. c) ¿A qué altura se encuentra la cabina a los $10$ minutos exactos de empezar a girar?

Calcula la Tasa de Variación Media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de los resultados sobre la monotonía de la función en esos intervalos?

La temperatura $T$ (en grados Celsius) en el interior de un horno industrial desde que se enciende hasta que se apaga viene dada por la función $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. ¿En qué instante se alcanza la temperatura máxima? ¿Cuál es el valor de esa temperatura máxima?

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$

Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando el muro rectilíneo de una nave ya construida, de modo que solo necesita vallar tres de los cuatro lados del rectángulo.

1. a) Encuentra la expresión de la función que da el área del huerto en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
2. b) Determina el dominio de definición válido para $x$ en el contexto de este problema.
3. c) ¿Qué dimensiones debe tener el huerto para que su área sea máxima?

Determina analíticamente el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Expresa el resultado como unión de intervalos.

Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 + kx$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $8$.

Analiza la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina:

1. a) Su dominio y recorrido.
2. b) Las ecuaciones de sus asíntotas.
3. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
4. d) Las coordenadas de sus extremos relativos (máximos y mínimos).

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$:

1. a) Demuestra analíticamente si es una función par, impar o si no presenta simetría.
2. b) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
3. c) Encuentra las ecuaciones de todas sus asíntotas (verticales y horizontales).

Un aparcamiento público tiene la siguiente tarifa: cobra $2$ euros por la primera hora (o fracción de hora), y $1,50$ euros por cada hora adicional (o fracción). El coste máximo por día es de $12$ euros. Escribe la expresión analítica de la función definida a trozos que relaciona el precio a pagar con el tiempo de estacionamiento $t$ (en horas) para las primeras $5$ horas, indicando claramente los intervalos de definición para cada tramo.

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determina el valor del parámetro $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal en la recta $y = 4$. Con ese valor de $a$ ya calculado, halla también las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función.