Ejercicios: Funciones definidas a trozos

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.

Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.

Un parking céntrico cobra una tarifa de $2$ € por la primera hora de estancia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $1,50$ € por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de estancia. Escribe la función definida a trozos $C(x)$ que representa el coste total en función de las horas $x$ que el coche permanece en el parking.

Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida a trozos: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 200ºC. Se mantiene a esa temperatura durante 40 minutos para hornear una pizza y, finalmente, se apaga, descendiendo su temperatura hasta la temperatura ambiente (20ºC) de forma constante en 30 minutos."

Escribe los intervalos de tiempo que definirían los tres tramos de la función temperatura $T(t)$.

Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.

Una compañía de telefonía móvil ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $15$ € que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $2$ €.

Escribe la función $C(x)$ que representa el coste mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calcula cuánto pagará un cliente que ha consumido $3$ GB y otro que ha consumido $8,5$ GB.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.

Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función a trozos $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.

El recibo de la luz de una vivienda tiene un término fijo de $10$ € mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $0,12$ €/kWh. Si se superan los $100$ kWh, el exceso de consumo se cobra a $0,15$ €/kWh. Escribe la función $F(x)$ que da el importe total del recibo en función de los kWh $x$ consumidos.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Represéntala gráficamente y determina sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.

En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $10\,000$ € de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la cantidad que exceda de $10\,000$ € y hasta $20\,000$ €, se paga un $10$%. Por la cantidad que exceda de $20\,000$ €, se paga un $20$%.

Escribe la función definida a trozos $I(x)$ que calcula el impuesto a pagar en función de los ingresos $x$.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.

Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos resultantes.

Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $10$ € si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $0,10$ €.

Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función a trozos) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.

Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.

Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en metros se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se apaga el motor y el cohete sigue una trayectoria parabólica de caída libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de forma que la transición es continua. Sabiendo que el cohete impacta contra el suelo a los $50$ segundos, encuentra la expresión de la parábola y determina la altura máxima alcanzada por el cohete.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcula el valor del parámetro $k$ para que el área total de la figura geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas (eje $X$) sea exactamente de $24$ unidades cuadradas.

Un depósito de agua de $6000$ litros de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ litros por minuto. Pasados $60$ minutos, se enciende una segunda bomba auxiliar que añade un caudal adicional de $30$ litros por minuto. Escribe la función a trozos $V(t)$ que representa el volumen de agua en el depósito en función del tiempo, y calcula cuánto tiempo en total se tardará en llenar el depósito por completo.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ y la recta $y = x + 2$.