Ejercicios: Función trigonomérica: seno, coseno y tangente.

Determina la amplitud y el periodo de la función trigonométrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Evalúa la función $g(x) = 2\cos(x) - 1$ en los valores $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ y $x = \frac{3\pi}{2}$.

Observa la siguiente gráfica y determina si corresponde a la función seno o a la función coseno. Justifica tu respuesta indicando el punto de corte con el eje Y y el tipo de simetría que presenta.

Indica el dominio y el recorrido de la función trigonométrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Clasifica las funciones elementales $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ y $h(x) = \tan(x)$ según el tipo de simetría que presentan (par o impar).

Calcula el periodo exacto de la función $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Encuentra todos los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $y = \sin(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$.

Describe qué transformación geométrica sufre la gráfica de la función $f(x) = \cos(x)$ para convertirse en la gráfica de $g(x) = \cos(x) - 3$. ¿Cuál es el nuevo recorrido de la función $g(x)$?

La altura en metros a la que se encuentra una de las cabinas de una noria en función del tiempo en minutos viene dada por la expresión $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcula la altura máxima y mínima que alcanza la noria, y determina el tiempo exacto que tarda en dar una vuelta completa.

El nivel del agua en un puerto varía periódicamente debido a las mareas. La siguiente gráfica muestra la altura del agua en metros a lo largo de $24\text{ horas}$. Determina la amplitud, el periodo y la altura media del agua. A partir de estos datos, propón una expresión trigonométrica del tipo $h(t) = A\sin(Bt) + D$ que se ajuste a la gráfica mostrada.

Una onda sonora pura emitida por un diapasón se modela mediante la función $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$, donde $P$ representa la variación de presión en pascales y $t$ el tiempo transcurrido en segundos. Determina la amplitud de la onda y su frecuencia (el número de ciclos completos que realiza por segundo).

El voltaje de una corriente alterna en una instalación doméstica europea se puede expresar mediante la función $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, donde $V$ es el voltaje en voltios y $t$ el tiempo en segundos. Calcula el voltaje máximo alcanzado y averigua cuántas veces por segundo el voltaje toma exactamente el valor de $0\text{ voltios}$.

Un peso colgado del extremo de un muelle oscila verticalmente. Su posición respecto al techo viene dada por la ecuación $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, medida en centímetros. Indica a qué distancia del techo se encuentra el peso en el instante inicial ($t=0$), cuál es su posición más baja (mayor distancia al techo) y cuál es el periodo de oscilación del muelle.

El número de horas de luz solar en una determinada ciudad a lo largo del año se puede aproximar mediante la función $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, donde $d$ representa el día del año ($d=1$ es el 1 de enero). ¿Cuántas horas de luz hay exactamente el día $d=80$? ¿Y el día $d=262$ (medio año después)? Interpreta el significado de ambos resultados.

Dibuja un boceto de la función $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explica paso a paso cómo se obtiene esta gráfica aplicando traslaciones y dilataciones a la gráfica original de la función $f(x) = \sin(x)$.

Determina el dominio de la función $f(x) = \tan(2x)$ y escribe las ecuaciones de sus tres primeras asíntotas verticales positivas.

El péndulo de un reloj de pared oscila de un lado a otro. Su desplazamiento horizontal en centímetros respecto al centro se modela con la función $x(t) = A \cos(Bt)$. Si se sabe que el péndulo alcanza un desplazamiento máximo de $12\text{ cm}$ y completa un ciclo entero de ida y vuelta cada $2\text{ segundos}$, determina los valores exactos de los parámetros $A$ y $B$. Además, calcula en qué instantes exactos durante los primeros $4\text{ segundos}$ el péndulo pasa justo por la posición central de equilibrio.

La temperatura media mensual de una ciudad se modela con una función trigonométrica. Observa la gráfica que representa la temperatura $T$ en grados Celsius en función del mes $m$ (donde $m=0$ equivale a principios de enero, $m=1$ a principios de febrero, etc.). Determina los valores de los parámetros $A, B, C$ y $D$ para que la función $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ represente fielmente esta curva.

Encuentra analíticamente todos los puntos de intersección (coordenadas $x$ e $y$) de las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$. Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de las funciones trigonométricas.

Según la teoría de los biorritmos, la capacidad física de una persona sigue un ciclo sinusoidal de $23\text{ días}$ y la capacidad emocional un ciclo de $28\text{ días}$. Si ambas capacidades se modelan con funciones seno de amplitud $1$ que parten de cero el día del nacimiento ($t=0$), escribe las funciones $F(t)$ y $E(t)$. ¿Cuántos días exactos deben pasar desde el nacimiento para que ambas capacidades vuelvan a cruzar el valor cero simultáneamente, pasando ambas a tener valores positivos?

La población de conejos en una reserva natural fluctúa anualmente según el modelo $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, donde $t$ representa el tiempo en meses ($t=0$ es el 1 de enero). Plantea y resuelve la inecuación trigonométrica correspondiente para determinar exactamente durante qué meses del primer año la población se mantiene estrictamente por encima de los $950\text{ conejos}$.

El haz de luz de un faro giratorio ilumina un acantilado recto y largo. La distancia $d$ (en metros) desde el punto más cercano del acantilado hasta el punto iluminado en el instante $t$ (en segundos) viene dada por la función $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina el dominio de esta función en el contexto físico del problema (para el primer giro) e interpreta qué sucede con el haz de luz cuando $t$ se acerca a $2\text{ segundos}$.

Demuestra mediante el análisis de traslaciones horizontales que la función $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ es equivalente a la función $g(x) = \cos(x)$. Utiliza los conceptos de desfase, periodicidad y la forma de sus gráficas para justificar tu respuesta.

El volumen de aire presente en los pulmones de una persona en reposo, medido en litros, se modela mediante la función $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, donde $t$ se mide en segundos. Calcula el volumen máximo y mínimo de aire en los pulmones. A partir del periodo de la función, determina cuántas respiraciones completas (ciclos completos de inhalación y exhalación) realiza esta persona en un minuto exacto.