Ejercicios: Función logarítmica

Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.

Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.

Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de variables simples:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Realiza el proceso inverso al ejercicio anterior. Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades correspondientes:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina su dominio analíticamente.

b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.

c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?

Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es $C = C_0 \cdot 1,04^t$, donde $C_0$ es el capital inicial. Si se invierten $2000$ euros, determina cuántos años completos deben transcurrir para que el capital supere los $3000$ euros. Usa logaritmos para despejar la incógnita.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.

b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.

c) Escribe la expresión analítica completa de la función.

La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los decibelios, $I$ es la intensidad del sonido e $I_0$ es la intensidad umbral de audición (una constante). Despeja la intensidad $I$ en función de los decibelios $d$ e $I_0$.

Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la tecla log de la calculadora para esos números. (Pista: recuerda que $5 = \frac{10}{2}$).

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda sísmica y $A_0$ es una amplitud de referencia.

Un terremoto en la ciudad Alfa tuvo una magnitud de $6$ en la escala de Richter, y otro en la ciudad Beta tuvo una magnitud de $8$. ¿Cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto de Beta en comparación con el de Alfa? Demuestra tu razonamiento matemáticamente.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.

La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, donde $P$ es el porcentaje de C-14 restante respecto al original y $t$ es el tiempo transcurrido en años.

Si se descubre un fósil que conserva únicamente el $15\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuál es la antigüedad estimada del fósil? Expresa el resultado en años y redondea a la unidad.

La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.

a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.

b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.

c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.

Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.

Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.

En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenación depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, donde $k$ es una constante propia del ordenador.

Si al procesar $n = 8$ datos el ordenador tarda $T = 24$ milisegundos:

a) Calcula el valor de la constante $k$.

b) ¿Cuánto tiempo tardará el mismo ordenador en procesar $n = 32$ datos?