Ejercicios: Funciones de proporcionalidad inversa: k/x

Identifica en la siguiente tabla si las magnitudes $x$ e $y$ son inversamente proporcionales y, en caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe la función que las relaciona.

• $x$: 1, 2, 3, 4, 6

• $y$: 24, 12, 8, 6, 4

Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ y $x = 0,5$.

Determina el dominio, el recorrido y las ecuaciones de las asíntotas de la función $y = \frac{-8}{x}$.

Asocia cada una de las siguientes funciones con la descripción de los cuadrantes en los que se sitúan sus ramas al representarlas gráficamente:

1. a) $y = \frac{5}{x}$
2. b) $y = \frac{-2}{x}$
3. c) $y = \frac{0,1}{x}$

Un premio de lotería de $300$ € se va a repartir a partes iguales entre un grupo de $x$ amigos. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el dinero que recibe cada uno con el número de amigos y calcula cuánto reciben si son $6$ personas.

Para recorrer una distancia fija de $120$ km, el tiempo $t$ empleado (en horas) y la velocidad media $v$ (en km/h) son magnitudes inversamente proporcionales. Escribe la función $v(t)$ y calcula a qué velocidad constante debe ir un coche si quiere tardar exactamente $2,5$ horas en realizar el trayecto.

Indica cuáles son las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal de la hipérbola cuya expresión algebraica es $y = \frac{5}{x-4} + 3$.

Halla el dominio de definición de la función racional $y = \frac{7}{x+5}$.

Observa la siguiente gráfica de una función de proporcionalidad inversa y determina su constante $k$ y su expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$.

Para llenar una piscina, $4$ grifos de igual caudal tardan $9$ horas. Escribe la función que relaciona el tiempo de llenado $t$ (en horas) con el número de grifos abiertos $n$. ¿Cuánto tiempo tardarían $6$ grifos en llenar la misma piscina?

Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, la presión $P$ de un gas y su volumen $V$ son magnitudes inversamente proporcionales ($P \cdot V = k$). Si un gas determinado ocupa un volumen de $20$ litros a una presión de $1,5$ atmósferas, escribe la función $V(P)$ y calcula qué volumen ocupará a $3$ atmósferas.

La gráfica de la función $y = \frac{8}{x}$ se traslada en el plano cartesiano $4$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia abajo. Escribe la expresión algebraica de la nueva función, determina su dominio y halla las coordenadas del punto donde se cortan sus asíntotas.

Halla analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.

Un grupo de personas alquila una pista de pádel por $24$ €. Escribe la función $C(x)$ que expresa el coste por persona en función del número de jugadores $x$. Si el coste final ha sido de $6$ € por persona, ¿cuántos jugadores alquilaron la pista? ¿Cuál es el dominio lógico de esta función teniendo en cuenta el contexto del problema?

Escribe la ecuación de una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sabiendo que sus asíntotas son las rectas $x = -2$ e $y = 4$, y que su gráfica pasa por el punto $(0, 5)$.

La resistencia eléctrica $R$ (en ohmios, $\Omega$) de un hilo conductor de longitud constante es inversamente proporcional al área de su sección transversal $S$ (en mm$^2$). Si para una sección de $2 \text{ mm}^2$ la resistencia es de $0,02\ \Omega$, expresa $R$ en función de $S$. ¿Cuál debe ser la sección mínima del hilo para que la resistencia sea menor o igual a $0,01\ \Omega$?

A partir de la gráfica de esta hipérbola trasladada, determina las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de su centro de simetría y deduce su expresión algebraica de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.

Expresa la función racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando la división de polinomios. A continuación, indica las ecuaciones de sus asíntotas y las coordenadas de su centro de simetría.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-4}{x-1}$ y la recta $y = -x + 4$.

Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos gastos fijos diarios de $500$ € por encender la maquinaria, y producir cada unidad cuesta $2$ €. Escribe la función del coste medio por unidad $C_m(x)$ en función del número de unidades $x$ fabricadas al día. Halla sus asíntotas e interpreta el significado de la asíntota horizontal en el contexto del problema.

Halla el valor de la constante $k$ para que la hipérbola $y = \frac{k}{x}$ sea tangente a la recta $y = -x + 6$ (es decir, para que se corten en un único punto).

Una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ tiene su centro de simetría en el punto $(-1, 3)$ y corta al eje de abscisas en $x = 1$. Halla su expresión algebraica y calcula el punto de corte con el eje de ordenadas.

La distancia focal de una lente delgada convergente es de $20$ cm. La relación entre la distancia del objeto a la lente $s_o$ y la distancia de la imagen $s_i$ viene dada por la ecuación $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Expresa $s_i$ en función de $s_o$. ¿Qué ocurre con la distancia de la imagen cuando el objeto se acerca a $20$ cm de la lente por la derecha?

Determina el dominio, el recorrido, las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indica también sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.