Ejercicios: Introducción

Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ primeros platos, $3$ segundos platos y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto por un primero, un segundo y un postre?

Dibuja el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda regular y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras numeradas del $1$ al $4$). ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento compuesto?

En una biblioteca de aula hay $12$ novelas de ciencia ficción, $8$ de novela histórica y $5$ biografías. Si solo tienes tiempo para leer un libro este fin de semana, ¿cuántas opciones diferentes tienes para elegir?

Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales:

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de cuadro, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones diferentes de este modelo de bicicleta existen en el mercado?

Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay $3$ carreteras distintas, y para ir de la ciudad B a la ciudad C hay $2$ carreteras distintas.

• ¿De cuántas formas se puede viajar de A a C pasando obligatoriamente por B?

• Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este viaje.

En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y sacas calcetines a oscuras, ¿cuál es el número mínimo de calcetines que debes extraer para asegurarte de tener al menos un par del mismo color?

Expresa los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial:

• $15 \cdot 14 \cdot 13$

• $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Una contraseña para un sistema informático debe estar formada por $2$ letras del alfabeto (de $26$ letras posibles) seguidas de $3$ dígitos (del $0$ al $9$), o bien por $3$ letras seguidas de $2$ dígitos. Si se permite repetir tanto las letras como los dígitos, ¿cuántas contraseñas distintas se pueden crear en total?

Dos equipos de baloncesto, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son posibles. Dibuja el diagrama de árbol con todos los desarrollos posibles de la eliminatoria. ¿De cuántas formas distintas puede transcurrir la serie de partidos?

Simplifica la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelve la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

Utilizando únicamente los dígitos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:

• ¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar?

• ¿Cuántos de esos números formados son pares?

En un instituto hay $400$ estudiantes matriculados.

• Justifica matemáticamente por qué puedes asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del año.

• ¿Cuántos alumnos se necesitarían como mínimo en el centro para garantizar que al menos tres de ellos comparten fecha de cumpleaños? (Considera años no bisiestos de $365$ días).

Un examen tipo test consta de $10$ preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta.

• ¿De cuántas formas diferentes se puede contestar el examen si es obligatorio marcar una opción en todas las preguntas?

• ¿De cuántas formas se podría contestar si se permite dejar preguntas en blanco?

En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazamiento). Dibuja el diagrama de árbol del experimento y calcula cuántos resultados distintos se pueden obtener si tenemos en cuenta el orden de extracción y el color de las bolas.

Observa la cuadrícula de la figura. Un robot se desplaza desde el punto A hasta el punto B moviéndose únicamente hacia la derecha o hacia arriba a través de las líneas de la cuadrícula. ¿Cuántos caminos diferentes puede tomar el robot para llegar a su destino?

Se quiere diseñar una bandera con $3$ franjas verticales utilizando una paleta de $5$ colores disponibles.

• ¿De cuántas formas se puede colorear si dos franjas adyacentes no pueden tener el mismo color?

• ¿De cuántas formas se puede colorear si, además de la condición anterior, la primera y la última franja también deben ser obligatoriamente de colores distintos?

Resuelve la siguiente ecuación con factoriales, sabiendo que $n$ es un número natural:

Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestra, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos cuya distancia entre ellos sea menor o igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Pista: divide el cuadrado en regiones estratégicas).

En el sistema de numeración decimal, consideramos todos los números enteros comprendidos entre el $1000$ y el $9999$ (ambos inclusive). ¿Cuántos de estos números contienen la cifra $7$ al menos una vez en su escritura?

Dos amigos, Carlos y Diana, juegan a un juego de mesa compuesto por varias rondas. El ganador final del juego será el primero que logre ganar $2$ rondas consecutivas o bien $3$ rondas en total a lo largo de la partida. Sabiendo que los empates no son posibles en ninguna ronda, dibuja el diagrama de árbol correspondiente y determina el número máximo de rondas que pueden llegar a jugar y cuántos desarrollos distintos tiene el juego.

En una clase de $20$ alumnos se debe elegir un equipo directivo formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario (cargos distintos que no puede ocupar la misma persona simultáneamente). Una vez elegido el equipo directivo, se debe escoger a un delegado de deportes entre los $17$ alumnos restantes. ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar todo este proceso de selección?

Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, el número $35153$).

• ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras existen en total?

• ¿Cuántos de esos números capicúas de $5$ cifras son números pares?

Demuestra algebraicamente la siguiente identidad válida para cualquier número natural $n \ge 1$:

Una vez demostrada, aplica este resultado para simplificar y calcular el valor exacto de la expresión $\frac{10! + 9!}{11!}$.