Inequacions i sistemes d'inequacions lineals
Una empresa de càtering ha de decidir quants menús bàsics ($x$) i quants menús premium ($y$) prepara per a un esdeveniment: el pressupost, el nombre de cuiners disponibles i l'aforament de la sala imposen diverses condicions alhora sobre $x$ i $y$. Cada condició és una inequació lineal amb dues incògnites; totes juntes formen un sistema. Aquest apartat repassa com es resol cada peça —el semiplà d'una inequació, la regió d'un sistema— perquè sobre aquesta regió construiràs, en els propers apartats, la programació lineal: triar el millor punt d'entre tots els possibles.
El semiplà d'una inequació lineal
Representa en el pla el semipla solució de la inequació $2x + 3y \leq 12$ i comprova algebraicament si els punts $A(3, 2)$ i $B(2, 5)$ hi pertanyen. Quina particularitat…
Representa en el pla el semipla solució de la inequació $2x + 3y \leq 12$ i comprova algebraicament si els punts $A(3, 2)$ i $B(2, 5)$ hi pertanyen. Quina particularitat té el punt $A$ respecte de la recta frontera?
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Representa el conjunt de punts del pla que verifiquen $y \geq 2x - 1$. Explica com decideixes quin semipla ombrejar i si la recta $y = 2x - 1$ pertany o no a la solució.
Representa el conjunt de punts del pla que verifiquen $y \geq 2x - 1$. Explica com decideixes quin semipla ombrejar i si la recta $y = 2x - 1$ pertany o no a la solució.
Sistemes d'inequacions: la intersecció de semiplans
Representa el recinte solució del sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$ i $x + y \leq 5$. Quina figura geomètrica s'obté? Indica els seus vèrtexs.
Representa el recinte solució del sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$ i $x + y \leq 5$. Quina figura geomètrica s'obté? Indica els seus vèrtexs.
Representa el recinte solució del sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 6$ i $x \leq 4$. Calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs i indica quin…
Representa el recinte solució del sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 6$ i $x \leq 4$. Calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs i indica quin tipus de polígon és.
Plantejar el sistema a partir d'un enunciat
El pas més important —i el que més falla als exàmens— és traduir correctament un text a inequacions. Cada condició de l'enunciat ("no més de", "almenys", "com a màxim") es converteix en una desigualtat amb $\leq$ o $\geq$.
Una botiga de roba esportiva prepara la seva comanda de primavera: anomena $x$ el nombre de samarretes tècniques i $y$ el nombre de dessuadores que encarregarà. Per…
Una botiga de roba esportiva prepara la seva comanda de primavera: anomena $x$ el nombre de samarretes tècniques i $y$ el nombre de dessuadores que encarregarà. Per espai al magatzem no pot rebre més de $40$ peces de roba en total, i el proveïdor li exigeix encarregar almenys $10$ samarretes. Escriu el sistema d'inequacions que recull totes aquestes condicions.
La figura mostra el recinte solució d'un sistema d'inequacions i quatre punts marcats sobre ell, tal com es mostra en la figura. Decideix gràficament quins punts són…
La figura mostra el recinte solució d'un sistema d'inequacions i quatre punts marcats sobre ell, tal com es mostra en la figura.
Decideix gràficament quins punts són solució del sistema i confirma la teva resposta comprovant algebraicament cada punt en el sistema $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 15$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.
Sistemes amb un paràmetre
Alguns problemes de la PAU introdueixen un paràmetre en una de les restriccions i pregunten com canvia la regió segons el seu valor. L'estratègia és la mateixa: dibuixar la regió per a un parell de valors concrets del paràmetre i observar quina recta es desplaça.
Considera el sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$ i $y \leq k$, on $k > 0$ és un paràmetre. a) Representa el recinte per a $k = 6$ i per a $k = 2$.…
Considera el sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$ i $y \leq k$, on $k > 0$ és un paràmetre.
-
a) Representa el recinte per a $k = 6$ i per a $k = 2$.
-
b) Determina per a quins valors de $k$ el recinte solució és un quadrilàter i per a quins és un triangle, justificant la resposta.
Torna al principi: cada límit del càtering (aforament, cuiners, pressupost) es plasma com una inequació lineal; la seva intersecció delimita el recinte poligonal que conté totes les combinacions factibles de menús $(x,y)$.