La regla de Cramer
Fins ara, per resoldre un sistema de tres incògnites triangulaves amb Gauss. La regla de Cramer ofereix una fórmula directa: cada incògnita és un quocient de dos determinants. No substitueix Gauss —hi ha sistemes on Gauss és més ràpid—, però és imprescindible quan el sistema porta un paràmetre, perquè et permet aïllar sense seguir tots els passos de la triangulació.
Sistema de Cramer: quan $|A| \ne 0$
Per començar a treballar amb la regla de Cramer, és fonamental identificar quins sistemes permeten el seu ús directe. Donat el sistema de dues equacions amb dues…
Per començar a treballar amb la regla de Cramer, és fonamental identificar quins sistemes permeten el seu ús directe. Donat el sistema de dues equacions amb dues incògnites següent:
$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - y = 2 \end{cases}$
- a) Calcula el determinant de la matriu dels coeficients, $|A|$.
- b) Justifica si és un sistema de tipus Cramer.
- c) Troba el valor de la incògnita $x$ calculant únicament el determinant de la matriu associada a aquesta variable, $|A_x|$, i aplicant la fórmula de Cramer.
La regla de Cramer
Aplica la regla de Cramer per resoldre el sistema d'equacions lineals $3 \times 3$ següent. Assegura't de calcular primer el determinant general del sistema per…
Aplica la regla de Cramer per resoldre el sistema d'equacions lineals $3 \times 3$ següent. Assegura't de calcular primer el determinant general del sistema per comprovar que té solució única:
$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$$Cramer amb tres incògnites
El procediment és idèntic amb un sistema $3\times3$: quatre determinants d'ordre $3$ ($|A|$, $|A_x|$, $|A_y|$, $|A_z|$) en lloc de tres d'ordre $2$. La feina creix, però la lògica —substituir una columna i dividir— no canvia.
En un examen de Matemàtiques II, es demana als alumnes que identifiquin sistemes de tipus Cramer sense resoldre'ls. Indica raonadament quin dels sistemes següents no es…
En un examen de Matemàtiques II, es demana als alumnes que identifiquin sistemes de tipus Cramer sense resoldre'ls. Indica raonadament quin dels sistemes següents no es pot resoldre mitjançant la regla de Cramer directament:
- a) $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 10 \end{cases}$
- b) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$
- c) $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + z = 2 \\ z = 3 \end{cases}$
Un equip d'e-sports ha participat en un torneig on s'atorguen punts per partides guanyades ($x$), empatades ($y$) i per objectius secundaris assolits ($z$). El sistema…
Un equip d'e-sports ha participat en un torneig on s'atorguen punts per partides guanyades ($x$), empatades ($y$) i per objectius secundaris assolits ($z$). El sistema que descriu la seva puntuació és el següent:
$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x - y + 3z = 13 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases}$
Utilitza la regla de Cramer per trobar quantes partides van guanyar, quantes van empatar i quants objectius secundaris van aconseguir.
Cramer amb paràmetre
La força de Cramer es nota amb un paràmetre: pots aïllar una incògnita sense resoldre tot el sistema. Calcules $|A(k)|$ i $|A_i(k)|$ en funció del paràmetre, i el quocient et dona la incògnita simplificada com a fracció algebraica.
Considera el sistema d'equacions lineals següent dependent del paràmetre real $k$: $$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$$ a)…
Considera el sistema d'equacions lineals següent dependent del paràmetre real $k$:
$$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$$- a) Discuteix el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius segons els valors de $k$.
- b) En el cas que el sistema sigui un sistema de Cramer, resol per a la incògnita $y$ aplicant la regla de Cramer. Expressa el resultat com una fracció algebraica simplificada en termes de $k$.
Es considera el sistema d'equacions: $$\begin{cases} ax + y + z = (a-1)^2 \\ x + ay + z = (a-1) \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$ a) Determina els valors de $a$ per als…
Es considera el sistema d'equacions:
$$\begin{cases} ax + y + z = (a-1)^2 \\ x + ay + z = (a-1) \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$- a) Determina els valors de $a$ per als quals el sistema no admet la regla de Cramer.
- b) Per a $a = 0$, resol el sistema complet utilitzant exclusivament la regla de Cramer.
- c) Existeix cap valor de $a$ per al qual el valor de la incògnita $z$ sigui igual a $0$ sent el sistema compatible determinat? Justifica la teva resposta.
Cramer en problemes i equacions matricials
Cramer també serveix per resoldre una sola incògnita sense calcular les altres: si només et demanen $z$, n'hi ha prou amb $|A|$ i $|A_z|$. Això és especialment útil dins de problemes més grans de context, on l'enunciat només pregunta per una de les variables.
Un servei municipal de mobilitat compartida utilitza tres tipus de vehicles: bicicletes urbanes, bicicletes elèctriques i patinets. Es sap que el consum d'energia…
Un servei municipal de mobilitat compartida utilitza tres tipus de vehicles: bicicletes urbanes, bicicletes elèctriques i patinets. Es sap que el consum d'energia setmanal (en centenars de kWh) compleix les relacions següents:
$\begin{cases} 2x + 3y + z = 11 \\ x - 2y + 3z = 6 \\ 3x + y - 2z = -1 \end{cases}$
On $x, y, z$ representen la flota de cada vehicle respectivament. Calcula el nombre d'unitats de cada tipus utilitzant determinants.