Extrems relatius

Un influencer ha comprovat que el nombre de likes de les seves publicacions segueix la funció $L(t) = t^3 - 3t^2 + 4$, on $t$ és el temps en hores des de la publicació ($0 \le t \le 3$).

Calcula els punts crítics de la funció en aquest interval resolent l'equació $L'(t) = 0$.

Donada la gràfica següent de la funció derivada $f'(x)$ (una recta), indica per a quins valors de $x$ la funció original $f(x)$ té un màxim o un mínim relatiu. Justifica la resposta basant-te en el canvi de signe de la derivada.

Un creador de contingut ha analitzat l'evolució de les visualitzacions dels seus vídeos durant les primeres 10 hores després de publicar-los. La funció que descriu el nombre de visualitzacions acumulades (en milers) ve donada per $V(t) = -t^3 + 12t^2 + 60t$, on $t$ és el temps en hores, amb $t \in [0, 10]$.

Calcula en quin moment el nombre de visualitzacions creix més ràpidament. Per fer-ho, troba el valor de $t$ que maximitza la funció de ritme de creixement $V'(t)$ i determina els extrems relatius de la funció original $V(t)$ en aquest interval.

Classifica els extrems relatius de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 8$ utilitzant el criteri de la segona derivada. Per fer-ho:

1. Troba $f'(x)$ i busca el valor de $x$ tal que $f'(x) = 0$.

2. Troba $f''(x)$ i comprova el seu signe en el valor obtingut anteriorment.

La gràfica següent correspon a la funció derivada $f'(x)$ d'una funció contínua $f(x)$. A partir de la informació visual, identifica raonadament les abscisses dels punts on la funció original $f(x)$ presenta els seus màxims i mínims relatius. Explica quin criteri utilitzes per diferenciar entre un màxim i un mínim a partir del signe de $f'(x)$.

Es considera la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{3}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia la continuïtat i derivabilitat a $x = 0$. Basant-te en l'estudi anterior i en el càlcul de la derivada en cada tram, determina si la funció presenta un màxim o un mínim relatiu a $x = 0$.

Un estudi logístic per a una empresa de repartiment de menjar a domicili estima que el cost operatiu horari depèn de la velocitat mitjana $v$ (en km/h) dels seus repartidors segons la funció:

$C(v) = 2v^2 + \frac{16000}{v} + 50$ per a $v > 0$.

1. a) Calcula la velocitat òptima que minimitza el cost operatiu.
2. b) Demostra que no existeixen màxims relatius per a aquesta funció en el seu domini.
3. c) Si per normativa de seguretat la velocitat mitjana no pot superar els 15 km/h, quin seria el cost mínim real que l'empresa podria assolir?