Funció derivada. Derivades successives

Donada la funció $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, fes les tasques següents:

1. a) Calcula la funció derivada $f'(x)$ aplicant les regles de derivació.

1. b) Troba el valor del pendent de la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 2$.

1. c) Determina l'equació de la recta tangent en aquest punt.

Una empresa de fabricació de fundes per a mòbils ha determinat que el cost total (en euros) de produir $x$ unitats ve donat per la funció:

Calcula la funció de cost marginal, $C'(x)$, i determina quin és el cost aproximat de produir la unitat número 21 (és a dir, calcula $C'(20)$).

Calcula les tres primeres derivades de la funció polinòmica $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 7$. Una vegada obtingudes, comprova si es compleix que $f'''(1) = 18$.

Donada la funció polinòmica $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 10$, realitza les operacions següents:

1. a) Calcula la funció primera derivada $f'(x)$ i la funció segona derivada $f''(x)$.
2. b) Determina els valors de $x$ per als quals la segona derivada s'anul·la ($f''(x) = 0$).
3. c) Calcula la derivada d'ordre superior $f^{(5)}(x)$ i justifica el resultat obtingut sense necessitat de realitzar tots els passos intermedis.

Donada la funció $h(x) = \ln(x^2 + 1)$, la gràfica de la qual apareix a la figura, calcula:

1. a) El pendent de la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 1$.

1. b) L'equació de la funció derivada segona $h''(x)$.

1. c) Els punts de la gràfica on la derivada segona és igual a zero.

Determina l'expressió general per a la derivada $n$-èsima de la funció racional $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$, definida per a $x \neq \dfrac{2}{3}$. Per a això, calcula les quatre primeres derivades successives, identifica el patró recurrent i utilitza la notació de factorial $n!$ i potències per escriure $f^{(n)}(x)$.