Curvatura i representació completa de funcions

Donada la funció $f(x) = x^3 - 6x^2$, utilitza la segona derivada per determinar:

1. Els intervals de concavitat i convexitat.

2. Les coordenades del punt d'inflexió.

Cert o fals, raonant la resposta: «Si $f''(2) = 0$, aleshores $f$ té un punt d'inflexió a $x = 2$». Il·lustra la teva resposta amb la funció $f(x) = x^4$ a $x = 0$.

S'ha monitorat la temperatura d'una reacció química durant els primers 6 minuts. La funció que descriu la temperatura (en $^\circ C$) és $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 40$.

Fes l'estudi de la funció en l'interval $t \in [0, 6]$ indicant:

1. En quins instants la temperatura augmenta i en quins disminueix?

2. Troba la temperatura màxima i mínima assolida en aquest interval.

3. Determina el moment en què la velocitat de variació de la temperatura canvia de tendència (punt d'inflexió).

4. Dibuixa la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La temperatura d'un líquid en un experiment segueix, en graus Celsius, la funció $T(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1$, amb $t$ en hores i $0 \leq t \leq 4$.

• a) Estudia en quins intervals la temperatura puja i en quins baixa.

• b) Troba el punt d'inflexió i interpreta què passa amb la velocitat de canvi de la temperatura en aquest instant.

Un estudi de mercat indica que el benefici mensual $B(x)$ (en milers d'euros) d'una aplicació mòbil depèn de la despesa en publicitat $x$ (en milers d'euros) segons la funció:

$B(x) = \ln(x^2 - 2x + 5) - \dfrac{x}{4}$ per a $x \in [0, 10]$.

Estudia la viabilitat de la despesa publicitària fent els passos següents:

1. a) Justifica el domini de la funció en el context del problema.
2. b) Troba la despesa publicitària que maximitza el benefici.
3. c) Estudia si hi ha intervals de "rendiments decreixents", és a dir, on la funció sigui còncava ($\cap$).
4. d) Dibuixa la gràfica de la funció benefici en l'interval donat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Fes l'estudi complet de la funció $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ i representa-la: domini, talls amb els eixos, asímptotes (verticals i oblíqua), intervals de monotonia, extrems relatius, curvatura i dibuix de la gràfica.

Una empresa de biotecnologia ha modelitzat el creixement d'una població de bacteris en un entorn controlat mitjançant la funció $P(t) = 10 \cdot t^2 \cdot e^{-0,5t}$, on $P$ és el nombre de bacteris en milers i $t$ és el temps en dies des de l'inici de l'experiment ($t \geq 0$).

Fes un estudi exhaustiu de la funció que inclogui:

1. Punts de tall amb els eixos.

2. Comportament a llarg termini (asímptotes horitzontals).

3. Intervals de creixement i decreixement, determinant en quin moment la població és màxima.

4. Intervals de concavitat i convexitat, localitzant els punts d'inflexió on el ritme de creixement comença a disminuir.

5. Esboç gràfic de l'evolució de la població.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - k}$, es demana:

1. a) Troba el valor de $k$ perquè la funció tingui un punt d'inflexió a $x = \sqrt{3}$.
2. b) Per a $k = 1$, realitza l'anàlisi completa de la funció: domini, simetria, asímptotes (verticals i obliqües), extrems relatius i curvatura.
3. c) Dibuixa la gràfica detallant la posició de la corba respecte a les seves asímptotes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigui la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{4x}{x+2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Estudia la continuïtat a $x = 0$.

1. b) Per al primer tram ($x \le 0$), troba el vèrtex de la paràbola i els punts de tall amb els eixos.

1. c) Per al segon tram ($x > 0$), troba'n les asímptotes.

1. d) Representa gràficament la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció amb valor absolut $f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x}$.

1. Expressa la funció com una funció definida a trossos.

2. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció en tot el seu domini.

3. Determina les asímptotes i la posició de la corba respecte a aquestes.

4. Troba els intervals de monotonia i els extrems relatius.

5. Fes una representació gràfica precisa, prestant especial atenció als punts on la funció canvia la seva definició.

La figura mostra la gràfica d'una funció amb el seu punt d'inflexió assenyalat, tal com es mostra a la figura.

• a) Indica els intervals de concavitat i convexitat de la funció.

• b) Fes l'esboç del signe de la segona derivada a cada interval.

• c) Explica què li passa al pendent de la corba quan passa pel punt d'inflexió.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra la gràfica completa d'una funció, tal com es mostra a la figura.

A partir de la gràfica, fes-ne l'estudi complet:

• a) Domini i punts de tall amb els eixos.

• b) Asímptotes i rames infinites.

• c) Intervals de monotonia i extrems relatius.

• d) Intervals de concavitat i convexitat i punts d'inflexió.

• e) Proposa una possible expressió analítica per a la funció i justifica que encaixa amb tot el que s'ha observat.