Àrea limitada per dues corbes

En un parc d'esports extrems, es vol instal·lar una rampa d'skate. El perfil lateral de la rampa està definit per la corba $f(x) = x^2$ i es vol cobrir amb una lona de seguretat que arriba fins a la plataforma horitzontal definida per la recta $g(x) = 4$.

Calcula l'àrea de la secció lateral compresa entre la rampa i la plataforma horitzontal (unitats en metres).

En un projecte d'enginyeria ambiental, s'estudia la secció transversal d'un canal de reg. El perfil del canal ve donat per la corba $f(x) = x^2 - 1$ i el nivell màxim de l'aigua està limitat per la recta $g(x) = 3$.

Calcula l'àrea de la secció transversal del canal que queda per sota del nivell de l'aigua.

Dues empreses tecnològiques comparen el creixement dels seus usuaris en el primer any. El nombre d'usuaris (en milers) de l'empresa A segueix la funció $f(x) = x^2$, mentre que l'empresa B segueix la funció $g(x) = x$.

Calcula l'àrea de la regió compresa entre totes dues gràfiques en l'interval $[0, 1]$ per visualitzar la diferència total d'usuaris acumulada durant aquest primer any.

Determina l'àrea del recinte limitat per la recta $y = 2x$ i la corba $y = x^2 - 3$.

Per a fer-ho, obté primer els punts de tall igualant totes dues funcions i aplica la regla de Barrow a l'integrand de la funció diferència.

Troba l'àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = x^2 - 2x + 1$ i $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Determina quina de les dues funcions queda per sobre de l'altra en l'interval d'integració analitzant el signe de la funció diferència $h(x) = f(x) - g(x)$.

Determina l'àrea de la regió enclosa per la funció cúbica $f(x) = x^3 - 4x$ i la recta $g(x) = 0$ (l'eix d'abscisses). Tingues en compte que el recinte està compost per dues regions separades i que hauràs de calcular l'àrea de cadascuna d'elles per separat utilitzant valors absoluts si fos necessari.

Considera dues funcions que representen el flux d'aire en un túnel de vent durant un experiment de 10 segons: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ i $g(x) = x^2 - 3x$. Els enginyers necessiten conèixer el "volum d'interferència" total, que equival a l'àrea enclosa entre totes dues gràfiques en tot el seu domini. Troba els punts de tall entre les dues funcions i calcula l'àrea total dels recintes que delimiten, tenint en compte que les funcions poden intercanviar la seva posició (quina està per sobre de l'altra) en els diferents intervals.

Un arquitecte projecta una finestra decorativa la silueta de la qual està delimitada per la funció amb valor absolut $f(x) = |x^2 - 4|$ i la recta horitzontal $g(x) = 2$. A causa de la complexitat de la forma, el vidre s'ha de tallar en diverses peces. Calcula l'àrea total de la finestra identificant correctament els límits d'integració i les funcions que actuen com a frontera superior i inferior en cada tram.

Donada la funció $f(x) = x^2 - 4$, troba l'equació de la recta tangent a la seva gràfica en el punt d'abscissa $x = 3$. Un cop obtinguda, calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de $f(x)$, la recta tangent trobada i l'eix d'ordenades ($OY$).

Calcula el valor del paràmetre real positiu $k$ perquè l'àrea del recinte limitat per la paràbola $y = x^2$ i la recta $y = kx$ sigui igual a $36$ unitats quadrades. Pista: Expressa l'àrea en funció de $k$ i iguala el resultat al valor donat per a aïllar la incògnita.

En un estudi de microeconomia, la funció d'oferta d'un producte és $S(x) = x^2 + 2x + 1$ i la funció de demanda és $D(x) = 11 - x^2$, on $x$ és el nombre d'unitats en milers. El "excedent del consumidor" es defineix com l'àrea limitada per la corba de demanda, la recta horitzontal que passa pel punt d'equilibri (on l'oferta és igual a la demanda) i l'eix d'ordenades. Calcula aquest excedent trobant primer el punt d'equilibri en el primer quadrant.