Diagrames d'arbre

En un prestatge d'una habitació juvenil hi ha dues caixes de sabatilles. La Caixa A conté $3$ parells de sabatilles blanques i $2$ parells de sabatilles negres. La Caixa B conté $2$ parells de blanques i $4$ parells de negres. Un estudiant tria una caixa a l'atzar (amb la mateixa probabilitat) i, sense mirar, extreu un parell de sabatilles.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representi aquesta situació, indicant les probabilitats a cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que les sabatilles triades siguin de color blanc.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un torneig d'e-sports, un jugador ha de superar dues fases. A la Fase 1, la probabilitat d'èxit és de $0,8$. Si supera la primera, passa a la Fase 2, on la probabilitat d'èxit és de $0,6$. Si no supera la primera fase, queda eliminat directament.

1. a) Elabora el diagrama d'arbre corresponent.

1. b) Calcula la probabilitat que el jugador meitat/completi amb èxit les dues fases del torneig.

En una plataforma de streaming de música, el $40 \%$ dels usuaris té un compte "Premium" i el $60 \%$ un compte "Gratuït". Se sap que el $80 \%$ dels usuaris Premium escolten música diàriament, mentre que només el $30 \%$ dels usuaris amb compte gratuït ho fan. Triat un usuari a l'atzar:

1. a) Calcula la probabilitat que escolti música diàriament.

1. b) Si sabem que l'usuari triat és Premium, quina és la probabilitat que no escolti música diàriament?

Un popular streamer de videojocs emet contingut en tres plataformes diferents: Twitch, YouTube i TikTok Live. Segons les seves estadístiques, el $45\,\%$ dels seus seguidors veuen els seus directes a Twitch, el $35\,\%$ a YouTube i el $20\,\%$ restant a TikTok. Se sap que el percentatge de seguidors que interactuen al xat és del $12\,\%$ a Twitch, del $8\,\%$ a YouTube i del $25\,\%$ a TikTok.

Si triem un seguidor a l'atzar d'aquest streamer:

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre.

1. b) Calcula la probabilitat que el seguidor triat interactuï al xat.

1. c) Si sabem que el seguidor triat no interactua al xat, quina és la probabilitat que sigui un seguidor de YouTube?

En un torneig d'E-sports, un jugador ha d'escollir entre dos personatges: "Guerrer" o "Mag". La probabilitat d'escollir el Guerrer és del $60\,\%$. Si escull el Guerrer, té una probabilitat de guanyar la partida de $0,7$. Si escull el Mag, la seva probabilitat de victòria augmenta a $0,85$.

1. a) Construeix el diagrama d'arbre associat a l'experiment, indicant a cada branca la seva probabilitat.

1. b) Calcula la probabilitat que el jugador guanyi la partida.

1. c) Si el jugador ha perdut la partida, quina és la probabilitat que hagués escollit el Guerrer?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una urna tenim $4$ boles vermelles i $6$ boles blaves. Extraiem dues boles de manera successiva sense devolució (sense tornar a ficar la primera bola a la urna).

1. a) Representa el procés mitjançant un diagrama d'arbre indicant les probabilitats a cada branca. Tingues en compte que la composició de la urna canvia després de la primera extracció.

1. b) Quina és la probabilitat que les dues boles extretes siguin del mateix color?

En una urna digital d'un joc d'atzar hi ha 10 esferes: 6 blaves i 4 blanques. L'experiment consisteix a extreure dues esferes de forma successiva i sense reemplaçament.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre detallant les probabilitats a cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que les dues esferes siguin del mateix color.

1. c) Calcula la probabilitat que la primera esfera sigui blava sabent que la segona ha estat blanca.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudiant de 2n de Batxillerat ha preparat 18 dels 25 temes d'un examen d'Història. L'examen consisteix a triar un tema d'entre dos extrets a l'atzar pel professor.

1. a) Quina és la probabilitat que l'alumne sàpiga els dos temes extrets?

1. b) Quina és la probabilitat que l'alumne aprovi l'examen (és a dir, que sàpiga almenys un dels dos temes)?

1. c) Si l'alumne ha aprovat l'examen, quina és la probabilitat que sabés només un dels dos temes extrets?

Una botiga de roba en línia envia les seves comandes a través de dues empreses de logística, A i B. El $70\,\%$ de les comandes s'envien amb l'empresa A i la resta amb l'empresa B. S'ha observat que el $5\,\%$ de les comandes de l'empresa A arriben amb retard, mentre que a l'empresa B el retard afecta el $10\,\%$ dels paquets.

1. a) Calcula la probabilitat que una comanda arribi a temps.

1. b) Si un client rep la seva comanda amb retard, quina és la probabilitat que hagi estat transportada per l'empresa A?

Una empresa de missatgeria utilitza tres rutes per lliurar paquets en una ciutat difícil. La ruta A (utilitzada el 40 % de les vegades) té una probabilitat de retard del 15 %. La ruta B (utilitzada el 35 %) té un retard del 10 %. La ruta C s'utilitza la resta de vegades i té un retard del 20 %. Si un paquet arriba amb retard, se li aplica un protocol d'auditoria. Aquest protocol falla i no detecta el motiu real del retard en el 5 % dels casos de la ruta A, en el 8 % de la ruta B i en el 12 % de la ruta C.

1. a) Representa mitjançant un diagrama d'arbre la probabilitat que un paquet triat a l'atzar pateixi un retard i la seva auditoria sigui fallida.
2. b) Calcula la probabilitat que un paquet seleccionat a l'atzar tingui una auditoria fallida per causa d'un retard.
3. c) Sabent que l'auditoria ha estat fallida, quina és la probabilitat que el paquet no hagués viatjat per la ruta A?

Una empresa tecnològica produeix processadors en tres plantes: P1 (en produeix el 50 %), P2 (30 %) i P3 (20 %). El percentatge de processadors que superen la velocitat de 4 GHz és de l'80 % a P1, 70 % a P2 i 60 % a P3. Els processadors que no superen aquesta velocitat es sotmeten a un procés d'optimització que aconsegueix que el 40 % d'ells finalment sí que la superin.

1. a) Utilitzant un diagrama d'arbre, calcula la probabilitat que un processador triat a l'atzar de la producció total superi finalment els 4 GHz.
2. b) Si un processador no supera els 4 GHz després de tot el procés, quina és la probabilitat que procedeixi de la planta P1 o de la P2?