Identificació del model funcional adequat
Fins ara has estudiat funcions ja donades per la seva fórmula. A la vida real (i en l'últim tram d'EvAU) el problema sol ser el contrari: tens una taula de dades —vendes, població, temperatura— i has d'escollir quina família de funcions la descriu millor, fins i tot abans d'ajustar cap paràmetre. Escollir malament el model porta a prediccions absurdes.
Lineal: increments constants
Aquestes dades mostren el cost d'imprimir cartells en funció del nombre d'unitats: | Cartells | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | |---|---|---|---|---| | Cost (€) | $17$ |…
Aquestes dades mostren el cost d'imprimir cartells en funció del nombre d'unitats:
| Cartells | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ |
|---|---|---|---|---|
| Cost (€) | $17$ | $29$ | $41$ | $53$ |
-
a) Comprova que les diferències entre costos consecutius són constants.
-
b) Quin model funcional convé? Determina la seva expressió i calcula quant costarien $100$ cartells.
Cert o fals, raonant la resposta amb un contraexemple: «Qualsevol conjunt de dades que creix s'ajusta bé a un model lineal».
Cert o fals, raonant la resposta amb un contraexemple: «Qualsevol conjunt de dades que creix s'ajusta bé a un model lineal».
Quadràtic: un núvol en forma de paràbola
La figura mostra tres núvols de punts corresponents a tres fenòmens diferents, com es mostra a la figura. Associa cada gràfica amb un d'aquests fenòmens i amb el model…
La figura mostra tres núvols de punts corresponents a tres fenòmens diferents, com es mostra a la figura.
Associa cada gràfica amb un d'aquests fenòmens i amb el model funcional que millor li convé, justificant cada assignació:
-
- El cost mitjà de producció d'una empresa en funció del nombre d'unitats fabricades.
-
- Els seguidors d'un compte que creix per recomanacions entre usuaris.
-
- La despesa mensual en transport d'una família en funció del nombre de trajectes realitzats.
Un analista ajusta les dades del consum elèctric mensual d'un municipi (que és alt a l'hivern, baix a la primavera i torna a pujar a l'estiu per l'aire condicionat) amb…
Un analista ajusta les dades del consum elèctric mensual d'un municipi (que és alt a l'hivern, baix a la primavera i torna a pujar a l'estiu per l'aire condicionat) amb un polinomi de segon grau.
-
a) Raona per què un model quadràtic pot donar prediccions absurdes a mitjà termini per a aquest fenomen.
-
b) Quina família de funcions seria més adequada per a un fenomen que es repeteix cada any? Escriu la forma general d'aquest model i explica el significat dels seus paràmetres.
-
c) Quina precaució general s'ha de tenir en extrapolar qualsevol model ajustat a dades?
Exponencial: creixement (o decreixement) que s'accelera
La població d'un poble petit amb accés limitat d'habitatge ha passat de $800$ a $1.600$ habitants en deu anys, però el ritme de creixement s'està frenant a mesura que…
La població d'un poble petit amb accés limitat d'habitatge ha passat de $800$ a $1.600$ habitants en deu anys, però el ritme de creixement s'està frenant a mesura que s'ocupen els habitatges disponibles (capacitat màxima estimada: $2.000$ habitants).
-
a) Explica per què un model exponencial pur no seria realista a llarg termini.
-
b) Quin model amb asímptota horitzontal seria més adequat? Descriu la seva forma i els seus paràmetres qualitatius.
-
c) Quina predicció a $30$ anys donaria cada model? Comenta la diferència.
Els casos setmanals d'una epidèmia de grip en una comarca han estat: | Setmana | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| |…
Els casos setmanals d'una epidèmia de grip en una comarca han estat:
| Setmana | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Casos | $40$ | $95$ | $210$ | $380$ | $430$ | $350$ | $210$ | $90$ |
-
a) Representa les dades i raona per què ni un model exponencial ni un de logístic descriuen tot el procés.
-
b) Proposa quin tipus de model (o combinació de models a trossos) es podria ajustar a cada fase del fenomen, justificant-ho.
-
c) Quina predicció raonable faries per a la setmana $10$?
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Logarítmic i amb sostre de saturació: creixement que es frena
La gràfica mostra les dades d'usuaris mensuals d'una plataforma de pòdcasts durant el seu primer any, tal com es mostra a la figura. Quin d'aquests models funcionals…
La gràfica mostra les dades d'usuaris mensuals d'una plataforma de pòdcasts durant el seu primer any, tal com es mostra a la figura.
Quin d'aquests models funcionals descriu millor la tendència: lineal, quadràtic, exponencial o logarítmic? Justifica la teva elecció descartant almenys dos dels altres models.
Es mesura la temperatura d'una tassa de cafè cada $5$ minuts després de servir-la: | $t$ (min) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ | |---|---|---|---|---|---|---| |…
Es mesura la temperatura d'una tassa de cafè cada $5$ minuts després de servir-la:
| $t$ (min) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ ($^\circ$C) | $90$ | $72$ | $59$ | $50$ | $44$ | $40$ |
-
a) Representa els punts i explica per què un model lineal no és adequat.
-
b) Sabent que la temperatura ambient és de $22\ ^\circ$C, raona quin tipus de model (amb quina asímptota) descriu millor el refredament.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.