Integració per parts
Hi ha funcions que són un producte de dues peces molt diferents: un polinomi per una exponencial, un logaritme «sol», un sinus per una $x$. Cap fórmula de la taula d'immediates les resol directament. Integrar per parts és, literalment, llegir al revés la derivada d'un producte: converteix una integral en una altra (més fàcil) menys un terme ja resolt.
Triar $u$ i $dv$: la regla ALPES
La regla mnemotècnica ALPES ordena què triar com a $u$: Arcs (arcsinus, arctangent), Logaritmes, Polinomis, Exponencials, Sinus/cosinus. Com més aviat apareix el tipus de funció en aquesta llista, més aviat es tria com a $u$; el que quedi és $dv$.
Per iniciar-te en el mètode d'integració per parts, és fonamental saber triar quina funció serà $u$ (la que derivem) i quina serà $dv$ (la que integrem). Utilitzant la…
Per iniciar-te en el mètode d'integració per parts, és fonamental saber triar quina funció serà $u$ (la que derivem) i quina serà $dv$ (la que integrem). Utilitzant la regla mnemotècnica ALPES (Arcs, Logaritmes, Polinomis, Exponencials, Sinus/Cosinus), identifica $u$ i $dv$ per resoldre la integral indefinida següent, aplicant la fórmula $\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du$:
$$\int x \cdot e^{2x} \, dx$$Calcula la primitiva de la funció $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Recorda que en aplicar el mètode de les parts, has de buscar que la nova integral resultant sigui més…
Calcula la primitiva de la funció $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Recorda que en aplicar el mètode de les parts, has de buscar que la nova integral resultant sigui més senzilla que l'original.
El logaritme: quan $dv = dx$
El logaritme no té primitiva immediata i, segons ALPES, sempre es tria com a $u$. Si està sol (no multiplicat per res més que una constant), $dv$ és simplement $dx$.
Un clàssic de les integrals per parts és la funció logaritme, ja que no té una integral immediata directa. En aquest cas, hem de considerar que la funció està…
Un clàssic de les integrals per parts és la funció logaritme, ja que no té una integral immediata directa. En aquest cas, hem de considerar que la funció està multiplicada per $1$ (és a dir, $dv = dx$).
Calcula la integral indefinida següent:
$$\int \ln(x) \, dx$$Calcula la integral indefinida de la funció $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilitzant el mètode d'integració per parts. Pista: pots considerar que la funció està multiplicada per…
Calcula la integral indefinida de la funció $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilitzant el mètode d'integració per parts. Pista: pots considerar que la funció està multiplicada per 1 per triar les teves variables $u$ i $dv$.
Parts dues vegades, i integrals cícliques
Si el polinomi té grau $2$ o més, una sola aplicació de parts no basta: cada vegada que integres per parts, el grau del polinomi baixa una unitat, de manera que cal repetir el procés.
Hi ha un cas especial en què, en integrar dues vegades per parts, reapareix la integral original al costat dret de la igualtat. Aleshores es tracta com una equació: s'aïlla la integral buscada.
El benefici marginal d'una botiga de roba vintage* (en centenars d'euros per mes) ve definit per la funció $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, on $x$ representa el nombre de…
El benefici marginal d'una botiga de roba vintage (en centenars d'euros per mes) ve definit per la funció $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, on $x$ representa el nombre de mesos des de la seva obertura. Aplicant el mètode d'integració per parts les vegades que calgui, obtén l'expressió del benefici total $B(x)$, sabent que en finalitzar el primer mes ($x = 1$) el benefici era nul.
Un enginyer modela la velocitat de vibració d'una estructura sotmesa a oscil·lacions forçades mitjançant la funció (en metres per segon): $$v(t) = e^{t} \cdot \cos(t)$$…
Un enginyer modela la velocitat de vibració d'una estructura sotmesa a oscil·lacions forçades mitjançant la funció (en metres per segon):
$$v(t) = e^{t} \cdot \cos(t)$$Calcula la integral indefinida d'aquesta funció. Tingues en compte que aquest tipus d'integrals s'anomenen "cícliques", ja que en aplicar el mètode d'integració per parts dues vegades, reapareixerà la integral original al costat dret de la igualtat.
Aplicacions: àrees i integrals definides
El procediment amb integrals definides és el de sempre: trobes la primitiva per parts i apliques la regla de Barrow al final, avaluant als dos extrems.
Determina la integral definida en l'interval $[1, e]$ de la funció $f(x) = 5 \ln(x)$.
Determina la integral definida en l'interval $[1, e]$ de la funció $f(x) = 5 \ln(x)$.
Troba l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, l'eix $OX$ i les rectes $x = 0$ i $x = 1$. Fes un petit esquema del recinte…
Troba l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, l'eix $OX$ i les rectes $x = 0$ i $x = 1$. Fes un petit esquema del recinte abans de calcular la integral.