Límits infinits i límits a l'infinit
Hi ha dues maneres que una funció "se'n vagi a l'infinit": que ho faci en acostar-se a un punt concret (la corba es dispara verticalment) o que ho faci quan $x$ creix o decreix sense límit (la corba s'estén horitzontalment). Distingir ambdues situacions —i calcular què passa en cadascuna— és l'objectiu d'aquest apartat.
Límit infinit en un punt: asímptota vertical
Quan el denominador d'una funció racional s'anul·la en $x_0$ sense que ho faci el numerador, la funció "es dispara" a prop de $x_0$.
Donada la funció $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, estudia el seu comportament quan $x$ s'acosta a $3$ per tots dos costats. Per a fer-ho, calcula: a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ b)…
Donada la funció $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, estudia el seu comportament quan $x$ s'acosta a $3$ per tots dos costats. Per a fer-ho, calcula:
- a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
- b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$
Indica si la funció presenta alguna asímptota vertical i escriu la seva equació.
Completa la taula de valors següent per a la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ i estima de forma intuïtiva el valor del límit $\lim_{x \to 1} f(x)$. Explica per què,…
Completa la taula de valors següent per a la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ i estima de forma intuïtiva el valor del límit $\lim_{x \to 1} f(x)$. Explica per què, encara que la funció no estigui definida a $x = 1$, sí que podem parlar del seu límit en aquest punt.
| $x$ | 0,9 | 0,99 | 0,999 | 1,001 | 1,01 | 1,1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ |
Límits a l'infinit de funcions racionals
Quan $x\to\pm\infty$, l'únic que importa en una fracció de polinomis és comparar el grau del numerador amb el del denominador.
Un estudi de mercat analitza l'evolució del nombre d'usuaris d'una nova aplicació de missatgeria, mesurat en milers, mitjançant la funció…
Un estudi de mercat analitza l'evolució del nombre d'usuaris d'una nova aplicació de missatgeria, mesurat en milers, mitjançant la funció $U(t) = \dfrac{40t + 10}{2t + 5}$, on $t$ representa el temps en mesos des del seu llançament. La figura mostra la gràfica d'aquesta funció.
- a) Analitza què passa amb el nombre d'usuaris a les proximitats del tercer mes. Per a això, calcula raonadament el límit:
- b) Determina el comportament de l'aplicació a llarg termini. Existeix algun valor màxim al qual s'aproximi el nombre d'usuaris? Interpreta el resultat en termes d'asímptotes horitzontals.
Calcula els límits següents a l'infinit utilitzant la comparació dels termes dominants i explica el seu significat gràfic (si tendeixen a un valor concret o si presenten…
Calcula els límits següents a l'infinit utilitzant la comparació dels termes dominants i explica el seu significat gràfic (si tendeixen a un valor concret o si presenten branques parabòliques):
- a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 5x + 2}{1 - 2x^3}$
- b) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 10}{x - 5}$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4 + 3x}}{5x^2 - 1}$
Indeterminació $\infty-\infty$ amb arrels: el conjugat
Quan una resta de termes tendeix a $\infty-\infty$ i apareix una arrel, substituir no funciona: cal multiplicar i dividir pel conjugat per convertir l'arrel en un quadrat.
Un dron de vigilància forestal segueix una trajectòria l'altura de la qual en metres respecte al nivell del mar ve donada per l'expressió $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$,…
Un dron de vigilància forestal segueix una trajectòria l'altura de la qual en metres respecte al nivell del mar ve donada per l'expressió $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, on $t$ és el temps en minuts des que inicia la patrulla. La figura mostra la seva trajectòria durant els primers 20 minuts.
Calcula el límit de l'altura quan el temps tendeix a infinit:
$$\lim_{t \to +\infty} (\sqrt{t^2 + 8t} - t)$$A quina altura estabilitza el dron el seu vol a llarg termini? Resol la indeterminació multiplicant pel conjugat.
Jerarquia de creixement: exponencial, potència i logaritme
Quan competeixen en un mateix límit una exponencial, una potència de $x$ i un logaritme, no cal cap càlcul algebraic: una jerarquia fixa decideix qui "guanya".
Calcula el valor del límit següent que involucra una diferència de funcions irracionals a l'infinit:…
Calcula el valor del límit següent que involucra una diferència de funcions irracionals a l'infinit:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 5x - 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + 2} \right)$
Explica raonadament per què no podem dir simplement que el resultat és $0$ en restar dos infinits del mateix ordre.