Determinants d'ordre 3 — regla de Sarrus
Amb una matriu $3\times3$ ja no hi ha una única diagonal de cada tipus: cal completar tres productes «cap a la dreta» (positius) i tres «cap a l'esquerra» (negatius). Aquest mètode s'anomena regla de Sarrus.
La regla de Sarrus
Per no perdre cap producte, repeteix mentalment les dues primeres files (o columnes) just a sota de la matriu: així «veus» les tres diagonals descendents i les tres ascendents sense sortir del dibuix.
Calcula el valor del determinant següent utilitzant la regla de Sarrus. Assegura't de fer els productes de les diagonals principals i secundàries amb compte amb els…
Calcula el valor del determinant següent utilitzant la regla de Sarrus. Assegura't de fer els productes de les diagonals principals i secundàries amb compte amb els signes:
$$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{array} \right| $$Troba el valor de la incògnita $x$ perquè el determinant de la matriu següent sigui nul: $$ \left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}…
Troba el valor de la incògnita $x$ perquè el determinant de la matriu següent sigui nul:
$$ \left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right| = 0 $$Sarrus per decidir si una matriu té inversa
El mateix criteri d'ordre 2 continua valent en ordre 3: si $|A| = 0$ la matriu és singular (no té inversa); si $|A| \ne 0$ és regular. Amb tres files, «aixafar-se» vol dir que les tres files queden en un mateix pla en lloc d'omplir les tres dimensions.
En una matriu triangular (superior o inferior), el determinant és simplement el producte dels elements de la seva diagonal principal. Calcula el determinant de la matriu…
En una matriu triangular (superior o inferior), el determinant és simplement el producte dels elements de la seva diagonal principal. Calcula el determinant de la matriu següent de costos de producció d'una empresa:
$$ \left| \begin{array}{ccc} 5 & 8 & 12 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right| $$Una empresa de desenvolupament d'aplicacions mòbils analitza l'impacte de tres de les seves funcions estrella (A, B i C) en tres mercats diferents. Les dades de…
Una empresa de desenvolupament d'aplicacions mòbils analitza l'impacte de tres de les seves funcions estrella (A, B i C) en tres mercats diferents. Les dades de rendiment es recullen en la matriu següent $M$:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
Calcula el determinant de la matriu $M$ utilitzant la regla de Sarrus (escriu els tres productes de les diagonals positives i els tres de les negatives) per determinar si el model d'anàlisi és consistent (és a dir, si el seu determinant és diferent de zero).
Àrea d'un triangle i volum d'un paral·lelepípede
La mateixa idea s'estén a tres dimensions: el volum d'un paral·lelepípede definit per tres vectors $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ que parteixen d'un mateix vèrtex és el valor absolut del determinant de la matriu formada per les seves components com a files. Si aquest determinant és $0$, els tres vectors són coplanaris: són al mateix pla i no «omplen» cap volum.
Calcula el determinant de la matriu següent, que representa la quantitat de tres tipus d'accions (Tecnologia, Energia, Banca) en tres carteres d'inversió diferents: $$…
Calcula el determinant de la matriu següent, que representa la quantitat de tres tipus d'accions (Tecnologia, Energia, Banca) en tres carteres d'inversió diferents:
$$ \left| \begin{array}{ccc} 10 & 10 & 10 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right| $$(Pista: Intenta treure factor comú de la primera fila abans d'aplicar Sarrus per simplificar els nombres).
Perquè un sistema de seguretat digital sigui vàlid, la "matriu de signatura" $S$ no ha de ser singular (el seu determinant ha de ser diferent de zero). Donada la matriu:…
Perquè un sistema de seguretat digital sigui vàlid, la "matriu de signatura" $S$ no ha de ser singular (el seu determinant ha de ser diferent de zero). Donada la matriu:
$S = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ a & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Determina els valors del paràmetre real $a$ per als quals el sistema de seguretat no seria vàlid.
En el disseny d'un nou mapa per a un videojoc d'estratègia, els vèrtexs d'una regió triangular protegida vénen donats per les coordenades dels punts $P(1, 1)$, $Q(3, 5)$…
En el disseny d'un nou mapa per a un videojoc d'estratègia, els vèrtexs d'una regió triangular protegida vénen donats per les coordenades dels punts $P(1, 1)$, $Q(3, 5)$ i $R(k, 7)$. El punt $R$ pot estar en qualsevol lloc de la recta $y = 7$, segons el valor de $k$. El motor del joc exigeix que la superfície d'aquesta regió sigui exactament de $10$ unitats quadrades per equilibrar les faccions.
Utilitza la fórmula de l'àrea mitjançant determinants d'ordre 3 per trobar els possibles valors del paràmetre $k$ que compleixen aquesta condició.