Matriu inversa

Donada la matriu de coeficients d'un sistema de costos en una petita cafeteria:

$A = \begin{pmatrix} 3 & k \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Determina per a quin valor del paràmetre $k$ la matriu no té inversa (és a dir, el seu determinant és nul).

En un torneig d'eSports, l'eficiència de dos equips es mesura comparant els seus resultats en dos mapes diferents. Les dades s'organitzen en la matriu següent $M$, on cada fila correspon a un equip (A i B) i cada columna a un mapa (1 i 2):

$M = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Calcula el determinant de la matriu $M$ per obtenir l'índex de competitivitat del torneig.

Per preparar un examen d'àlgebra, un estudiant necessita calcular la matriu adjunta de la següent matriu $2 \times 2$. Recorda que $Adj(A)$ és la transposada de la matriu de cofactors de $A$, on cada cofactor és el signe $(-1)^{i+j}$ multiplicat pel menor de l'element corresponent. Troba $Adj(A)$ essent:

$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

La figura mostra la matriu $A$ i l'esquema de signes $(-1)^{i+j}$ per a una matriu $2 \times 2$.

Donada la matriu $A$ que depèn d'un paràmetre real $x$:

$$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 4 & 2 & x \end{pmatrix}$$

Es demana:

1. Calcular el determinant de la matriu $A$ en funció de $x$.

2. Determinar per a quins valors de $x$ la matriu no té inversa.

3. Per al cas $x = 0$, justifica si existeix la matriu inversa i, en cas afirmatiu, calcula únicament l'element $a_{21}$ de la matriu $A^{-1}$ (l'element de la segona fila i primera columna).

Calcula la matriu inversa $A^{-1}$ de la matriu $A$ utilitzant la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Nota: No oblidis comprovar primer que el determinant és diferent de zero.

Sabem que el determinant d'una matriu quadrada $M$ d'ordre 3 és $|M| = -2$. Utilitzant les propietats dels determinants, calcula de manera raonada el valor dels determinants següents:

1. $|M^t \cdot M|$, on $M^t$ és la matriu transposada de $M$.

2. $|3M|$.

3. El determinant de la matriu inversa, $|M^{-1}|$.

4. El determinant d'una matriu $P$ que s'obté en intercanviar la primera i la tercera fila de $M$ i multiplicar després la segona columna per $-5$.

Resol la equació matricial següent aïllant la incògnita $X$. Se sap que $A \cdot X = B$, on:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Recorda que per aïllar $X$ has de multiplicar per l'esquerra per la inversa de $A$.

Donada la matriu $M$ dependent del paràmetre real $k$:

$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

1. a) Determina per a quins valors de $k$ la matriu $M$ no admet matriu inversa.
2. b) Per a $k = 0$, resol l'equació matricial $M \cdot X + M = I$, on $I$ és la matriu identitat d'ordre 3.