Solucions d'un sistema

Observa la representació gràfica de les dues equacions d'un sistema de primer grau amb dues incògnites. Basant-te en el dibuix, indica quina és la solució del sistema i classifica'l segons el seu nombre de solucions (Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible).

Classifica el sistema d'equacions següent segons la seua interpretació geomètrica en el pla. Per a això, analitza la relació entre els coeficients de les incògnites i els termes independents:

$\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}$

Justifica la teua resposta indicant quina posició relativa tenen les rectes representades.

Dos amics han anat a una botiga de videojocs. El primer compra 2 jocs d'acció i 1 d'estratègia per $80$ €. El segon compra 1 d'acció i 3 d'estratègia per $90$ €. Comprova si el parell $(x, y) = (30, 20)$, on $x$ és el preu del joc d'acció i $y$ el d'estratègia, és la solució del sistema que descriu aquesta situació.

En una cafeteria, el preu d'un cafè ($x$), una torrada ($y$) i un suc ($z$) estan relacionats pel sistema següent:

$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases} $

Determina si la terna $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ és una solució vàlida per al preu d'aquests productes.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la parella $(x, y) = (2, -1)$ sigui solució del sistema d'equacions lineals següent:

$ \begin{cases} kx + 3y = 1 \\ x + ky = 0 \end{cases} $

Indica, sense resoldre, si els dos sistemes d'equacions següents són equivalents i justifica la teva resposta comparant les seves solucions o mitjançant transformacions elementals:

Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x = 6 \end{cases}$

Donada la matriu ampliada $M^*$ següent d'un sistema d'equacions esglaonat després d'aplicar el mètode de Gauss, raona si el sistema té solució i, en cas afirmatiu, si és única:

$M^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$

Un estudiant de 2n de Batxillerat analitza la posició relativa de tres plans a l'espai. El sistema d'equacions que defineix aquesta posició és el següent:

1. a) Determina el valor de $k$ perquè els tres plans es tallen en una recta. Com es classifica el sistema en aquest cas segons el nombre de solucions?

1. b) Si $k = 0$, quina és la posició relativa dels plans? Justifica la teua resposta utilitzant el rang de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada.