Límits laterals
Moltes magnituds reals canvien de fórmula en un punt: una tarifa que puja a partir de certs minuts, un impost que canvia de tram, una velocitat que es frena de cop. Per estudiar el límit en aquest punt de canvi cal mirar cada costat per separat, i només després decidir si existeix un límit global.
Límits laterals: definició
Un límit lateral només té en compte els valors de $x$ que s'apropen a $a$ des d'un únic costat.
Donada la funció $f(x) = x^2 - 3$, volem investigar què passa quan els valors de $x$ s'acosten molt a $2$. Completa la taula de valors següent i, a la vista dels…
Donada la funció $f(x) = x^2 - 3$, volem investigar què passa quan els valors de $x$ s'acosten molt a $2$. Completa la taula de valors següent i, a la vista dels resultats, indica quin creus que és el valor del $\lim_{x \to 2} f(x)$.
| $x$ | $1,9$ | $1,99$ | $1,999$ | $2,001$ | $2,01$ | $2,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ |
El criteri d'existència: quan hi ha límit global
Els dos laterals per separat no garanteixen res sobre el límit global: cal comparar-los.
Observa la gràfica següent de la funció $g(x)$ i determina el valor dels límits laterals en el punt de ruptura $x = 1$. Indica també si existeix el límit global…
Observa la gràfica següent de la funció $g(x)$ i determina el valor dels límits laterals en el punt de ruptura $x = 1$. Indica també si existeix el límit global $\lim_{x \to 1} g(x)$.
- a) $\lim_{x \to 1^-} g(x)$
- b) $\lim_{x \to 1^+} g(x)$
Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcula els límits laterals en el punt on s'anul·la el denominador. a) Què passa amb els valors de la funció quan…
Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcula els límits laterals en el punt on s'anul·la el denominador.
- a) Què passa amb els valors de la funció quan ens acostem a $x = 1$ per l'esquerra?
- b) I per la dreta?
- c) Basant-te en els teus resultats, podem dir que existeix el límit global en $x = 1$?
Pista. Factoritza el numerador i el denominador i simplifica la fracció abans d'estudiar el signe de cada costat.
Funcions a trossos: trobar paràmetres perquè existeixi el límit
L'exercici més habitual de la PAU en aquest bloc: donat un paràmetre en una funció a trossos, trobar-ne el valor perquè el límit existeixi en el punt d'empalmament.
Determina el valor del paràmetre $k$ perquè existeixi el límit de la funció següent en el seu punt de ruptura $x = 2$:…
Determina el valor del paràmetre $k$ perquè existeixi el límit de la funció següent en el seu punt de ruptura $x = 2$:
$f(x) = \begin{cases} kx - 3 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + k & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$
Perquè el límit existeixi, recorda que els límits laterals han de ser iguals. Un cop trobat $k$, indica el valor del límit.
Sigui la funció $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$. a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ perquè la funció brilli una indeterminació del tipus $0/0$ quan…
Sigui la funció $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$.
- a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ perquè la funció brilli una indeterminació del tipus $0/0$ quan $x \to 1$.
- b) Per a aquest valor de $k$, calcula els límits laterals a $x=1$ i estudia si existeix el límit global.
El valor absolut com a funció a trossos
Una funció amb valor absolut sempre es pot reescriure sense aquest, separant en els trams on l'argument és positiu o negatiu. Fet això, l'estudi dels límits laterals és exactament el mateix.
Calcula els límits laterals en els punts de ruptura de la funció següent que combina un valor absolut amb una funció racional: $$g(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{|x-3| \cdot…
Calcula els límits laterals en els punts de ruptura de la funció següent que combina un valor absolut amb una funció racional:
$$g(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{|x-3| \cdot (x-1)}$$A partir dels resultats obtinguts, raona si existeix el $\lim_{x \to 3} g(x)$ i descriu el comportament de la funció a les proximitats de $x=3$ i $x=1$.