Paràmetres estadístics d'una normal

Un ajuntament ha analitzat el temps que triguen els autobusos de la línia circular a completar el seu recorregut. Han comprovat que aquest temps segueix una distribució normal amb una mitjana de $25$ minuts i una desviació típica de $4$ minuts. Identifica els paràmetres estadístics d'aquesta distribució i escriu-la utilitzant la notació matemàtica abreujada $X \sim N(\mu, \sigma)$.

Observa la gràfica següent que representa la distribució dels pesos dels gatets acabats de néixer en una protectora d'animals. Sabent que la distribució és simètrica, indica visualment quin és el valor de la mitjana poblacional $\mu$.

Dues marques de bombetes, "LuzEterna" i "BrilloMax", tenen una durada mitjana de $1200$ hores. Tanmateix, la desviació típica de "LuzEterna" és de $50$ hores, mentre que la de "BrilloMax" és de $150$ hores.

• Quina de les dues marques ofereix un producte més "homogeni" o regular en la seva durada?

• Si haguessis de dibuixar totes dues campanes de Gauss en el mateix eix, quina de les dues seria més alta i estreta?

Imagina que estàs comparant la precisió de dues màquines que tallen llistons de fusta. La Màquina 1 talla amb una distribució $N(100; 0,1)$ i la Màquina 2 amb una distribució $N(100; 0,5)$ (en centímetres).

• Quina de les dues màquines és més precisa?

• Relaciona el concepte de "precisió" amb el valor de la desviació típica $\sigma$ en una distribució normal.

Es presenten a continuació dues gràfiques que representen la distribució de la durada de dos tipus de bombetes LED de diferents marques, A i B. Totes dues segueixen una distribució normal.

1. a) Observant la forma de les corbes, quina de les dues marques té una desviació típica més gran? Raona la teva resposta relacionant la dispersió amb la forma de la campana.
2. b) Si la marca A té una distribució $N(25000, 2000)$ i la marca B una $N(28000, 3500)$, calcula la probabilitat que una bombeta de la marca A duri més que la durada mitjana de la marca B.

La distribució Normal Estàndard és un cas especial molt utilitzat en estadística per poder usar les taules d'àrees. Indica quins són els valors fixos de la seva mitjana ($\mu$) i la seva desviació típica ($\sigma$). Representa-la simbólicament.

En un videojoc d'estratègia popular, els punts d'experiència obtinguts pels jugadors en una missió específica segueixen una distribució normal de mitjana $\mu = 4500$ punts i desviació típica $\sigma = 800$ punts. Si els desenvolupadors volen atorgar una medalla especial només al $15\%$ dels jugadors que aconsegueixin les puntuacions més altes, a partir de quants punts es començarà a lliurar aquesta medalla?

S'ha realitzat un estudi sobre el temps que els joves d'entre $16$ i $18$ anys passen diàriament en una coneguda xarxa social de vídeos curts. Es sap que aquest temps segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 110$ minuts. Si es coneix que el $33\%$ dels usuaris passa més de $125$ minuts al dia a la plataforma, calcula el valor de la desviació típica $\sigma$ d'aquesta distribució.

Una empresa de missatgeria sostenible utilitza patinets elèctrics per als seus repartiments. L'autonomia de les bateries d'aquests patinets segueix una distribució normal amb una mitjana de $60$ km. Es sap que la probabilitat que un patinet tingui una autonomia superior a $75$ km és de $0,0668$. A causa d'una actualització del programari, l'autonomia de tots els patinets augmenta un $10\%$ més un extra fix de $2$ km. Determina la desviació típica original de les bateries i els nous paràmetres (mitjana i desviació típica) després de l'actualització del programari.

Un fabricant de components per a telescopis espacials produeix lents el diàmetre de les quals segueix una distribució normal. Pel control de qualitat, es sap que la mitjana és de $120$ mm. Perquè una lent sigui acceptada, el seu diàmetre ha d'estar en el rang $[118, 122]$ mm. Si el fabricant desitja que el $99,73\%$ de la seva producció sigui acceptable per evitar pèrdues econòmiques, quin ha de ser el valor màxim de la desviació típica del procés de fabricació?