"Casos especials: solució única, múltiple, no fitada o infactible"

Verdader o fals, raonant la resposta: «Si la regió factible d'un problema de programació lineal no és acotada, el problema mai no té solució òptima». Il·lustra el teu raonament amb l'exemple de $F(x, y) = x + y$ a la regió $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$.

Maximitza la funció objectiu $F(x, y) = 2x + 4y$ subjecta a $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 8$ i $x + y \leq 5$.

• a) Troba els vèrtexs de la regió factible i avalua $F$ en aquests.

• b) Observaràs que el valor màxim es repeteix en dos vèrtexs: explica què significa això i escriu l'expressió de tots els punts òptims com a segment.

• c) Dona dues solucions òptimes de coordenades enteres.

Sigui la regió definida per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 3$ i $3x + y \geq 5$.

• a) Comprova que no és acotada i troba els seus vèrtexs.

• b) Estudia si la funció objectiu $F(x, y) = 3x + 2y$ assoleix un màxim a la regió.

• c) Estudia si assoleix un mínim i, en cas afirmatiu, calcula'l.

Representa les rectes $x + y = 2$ i $x + y = 5$ i justifica, a partir del dibuix, que el sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 2$ i $x + y \geq 5$ no té cap solució. Com es diu en programació lineal que la regió factible és buida?

Una pastisseria rep una comanda d'almenys $50$ pastissos i $40$ braços de gitano per a una setmana. Cada pastís requereix $2$ hores d'obrador i cada braç, $1$ hora, i l'obrador només disposa de $60$ hores setmanals.

• a) Planteja el sistema de restriccions i demostra que la regió factible és buida.

• b) Proposa una modificació d'una sola dada de l'enunciat que faci el problema factible, i comprova-ho.