Asímptotes i branques infinites

Donada la funció racional $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$, realitza l'estudi següent:

1. a) Identifica la seva asímptota vertical.

1. b) Calcula el límit de la funció quan $x$ tendeix a $+\infty$ per trobar la seva asímptota horitzontal.

Calcula les asímptotes verticals i horitzontals de la funció $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$, escrivint els límits que les justifiquen.

Cert o fals, raonant la resposta amb un exemple: «Tota funció racional té almenys una asímptota vertical».

S'està monitorant la velocitat de descàrrega d'un fitxer en Megabytes per segon (MB/s). La funció que descriu la velocitat després de $t$ segons és:

$v(t) = \frac{10t}{t + 5}$

Troba les rames infinites calculant el límit quan $t \to +\infty$. A quin valor s'estabilitza la velocitat de descàrrega a llarg termini?

Sigui la funció $f(x) = e^x + 2$.

• a) Té asímptotes verticals? Per què?

• b) Calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ i dedueix la seva asímptota horitzontal.

• c) La gràfica està per sobre o per sota d'aquesta asímptota? I què passa quan $x \to +\infty$?

Donada la funció racional $f(x) = \frac{ax+b}{x-3}$, determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que:

• La funció té una asímptota horitzontal a $y = 2$.

• La gràfica de la funció passa pel punt $P(1, -1)$.

Una vegada trobats $a$ i $b$, estudia la monotonia de la funció i comprova si té punts singulars.

Estudia les branques infinites i l'existència d'asímptotes de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}$.

1. Troba l'equació de l'asímptota obliqua.

2. Determina la posició de la corba respecte d'aquesta asímptota quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

3. Troba els punts de la gràfica on la tangent és paral·lela a l'asímptota obliqua.

4. Dibuixa aproximadament les asímptotes i la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia les branques infinites de la funció $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x + 1}$: asímptota vertical, asímptota obliqua i posició de la corba respecte d'aquesta última a $+\infty$ i a $-\infty$.

Sigui la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$.

• a) Determina el seu domini i la seva asímptota vertical, estudiant els límits laterals.

• b) Troba l'asímptota obliqua i estudia la posició de la corba respecte d'aquesta a $+\infty$ i a $-\infty$.

• c) Calcula els punts de tall amb els eixos i esboça la gràfica completa amb les seves asímptotes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudi sociològic sobre la propagació d'un rumor en una comunitat d'estudiants segueix la funció $P(t) = 100(1 - e^{-0,2t})$, on $P$ és el percentatge de persones que coneixen el rumor i $t$ és el temps en hores ($t \ge 0$).

1. Calcula el percentatge inicial de persones que coneixen el rumor.

2. Cap a quin valor tendeix el percentatge de persones a mesura que passa el temps? Interpreta el resultat en termes d'asímptotes.

3. Justifica, mitjançant la primera derivada, que el rumor sempre s'estén (la funció és creixent).

4. En algun moment canvia la curvatura de la funció? Raona la teva resposta.

El cost mitjà de producció d'una revista independent és $C(x) = \frac{500 + 2x}{x}$ euros per exemplar, on $x$ és el nombre d'exemplars impresos.

• a) Troba l'asímptota horitzontal de $C(x)$ i interpreta-la: per què el cost mitjà no pot baixar d'un cert valor?

• b) Què passa amb el cost mitjà quan s'imprimeixen molt pocs exemplars? Relaciona-ho amb l'asímptota vertical.

• c) Té sentit parlar d'asímptota obliqua en aquesta funció? Justifica-ho.

Analitza i representa gràficament la funció $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 - 3x}$. En el teu estudi has d'incloure:

1. Domini i punts de discontinuïtat.

2. Límits infinits i asímptotes verticals.

3. Asímptotes horitzontals i branques parabòliques (estudiant el comportament tant a $+\infty$ com a $-\infty$).

4. Càlcul de la primera derivada per trobar intervals de monotonia i extrems relatius.

5. Esbós de la gràfica indicant tots els elements trobats (fes-ho a mà al teu quadern o amb l'eina que prefereixis).