Determinants d'ordre 2
A cada matriu quadrada li podem associar un únic nombre que resumeix informació molt útil sobre ella: si té inversa, si les seves files són "independents", quina àrea genera. Per a matrius $2\times2$ aquest nombre es calcula amb un compte molt senzill.
El determinant d'una matriu 2×2
El producte de la diagonal principal (contínua) se suma; el de la diagonal secundària (discontínua) es resta. Es denota $|A|$ o $\det(A)$, i també es dibuixa la matriu entre barres verticals en lloc de parèntesis.
Calcula el valor dels determinants d'ordre 2 següents, parant una atenció especial a l'ús dels signes negatius: a) $\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$ b)…
Calcula el valor dels determinants d'ordre 2 següents, parant una atenció especial a l'ús dels signes negatius:
- a) $\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$
- b) $\begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 0 & 7 \end{vmatrix}$
- c) $\begin{vmatrix} 10 & 15 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$
Troba el valor del determinant de la matriu $A$ quan aquesta conté fraccions simples. Aquest tipus de càlculs és habitual quan es treballa amb coeficients de repartiment…
Troba el valor del determinant de la matriu $A$ quan aquesta conté fraccions simples. Aquest tipus de càlculs és habitual quan es treballa amb coeficients de repartiment en problemes d'economia:
$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 4 \\ \frac{1}{4} & 6 \end{pmatrix}$
Determinants amb una incògnita
El determinant també pot contenir una lletra en lloc d'un nombre. Igualant el resultat a un valor donat s'obté una equació, normalment de primer o segon grau, que resols com sempre.
Determina el valor de la incògnita $x$ perquè es compleixi la igualtat següent, on el resultat del determinant és un valor enter conegut:…
Determina el valor de la incògnita $x$ perquè es compleixi la igualtat següent, on el resultat del determinant és un valor enter conegut:
$\begin{vmatrix} x & 5 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 14$
Es considera la matriu $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina els valors reals de $x$ per als quals el determinant de la matriu és igual a $6$.
Es considera la matriu $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina els valors reals de $x$ per als quals el determinant de la matriu és igual a $6$.
Matriu singular i matriu regular
Fixa't en el dibuix: si el determinant no és $0$, les dues files d'$A$ generen un paral·lelogram amb àrea; si és $0$, les dues files són proporcionals i el paral·lelogram s'"aixafa" en una recta, sense àrea. Per això una matriu singular no té inversa: no hi ha manera de "desfer" una transformació que col·lapsa el pla en una línia.
Donada la matriu dependent del paràmetre real $m$: $$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 2 \end{pmatrix}$$ a) Calcula el valor del seu determinant en…
Donada la matriu dependent del paràmetre real $m$:
$$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 2 \end{pmatrix}$$- a) Calcula el valor del seu determinant en funció de $m$.
- b) Determina tots els valors de $m$ per als quals la matriu no té inversa (matriu singular).
- c) Si $m = 0$, calcula el determinant de la matriu inversa $A^{-1}$ utilitzant les propietats dels determinants, sense trobar la matriu inversa explícitament.
En un sistema de xifratge matricial, s'utilitza una matriu clau $K$ d'ordre 2. Perquè el sistema sigui segur i permeti el desxifratge, la matriu $K$ ha de ser…
En un sistema de xifratge matricial, s'utilitza una matriu clau $K$ d'ordre 2. Perquè el sistema sigui segur i permeti el desxifratge, la matriu $K$ ha de ser invertible. Es proposa la matriu següent:
$$K = \begin{pmatrix} k-2 & -3 \\ -2 & k \end{pmatrix}$$- a) Calcula els valors de $k$ que fan que el sistema sigui insegur (és a dir, que $K$ no tingui inversa).
- b) Si es sap que el determinant de la matriu clau ha de ser igual a $10$ per complir amb un estàndard de seguretat específic, calcula els possibles valors de $k$.
El determinant com a àrea d'un paral·lelogram
Un determinant d'ordre 2 pot representar l'àrea d'un paral·lelogram definit per dos vectors en el pla. Calcula el valor absolut del determinant format pels vectors…
Un determinant d'ordre 2 pot representar l'àrea d'un paral·lelogram definit per dos vectors en el pla. Calcula el valor absolut del determinant format pels vectors $\vec{u} = (4, 1)$ i $\vec{v} = (2, 5)$ per trobar aquesta àrea:
$Àrea = \left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \right|$
En el disseny d'un logotip per a una nova startup* tecnològica, un dissenyador utilitza un paral·lelogram definit pels vectors $\vec{u} = (a, 1)$ i $\vec{v} = (2, a)$.…
En el disseny d'un logotip per a una nova startup tecnològica, un dissenyador utilitza un paral·lelogram definit pels vectors $\vec{u} = (a, 1)$ i $\vec{v} = (2, a)$. Es sap que l'àrea d'aquest paral·lelogram ve donada pel valor absolut del determinant de la matriu formada per tots dos vectors.
Calcula el valor del paràmetre $a$ perquè l'àrea del logotip sigui de $3$ unitats quadrades.