Sistemes homogenis

Un grup d'estudiants de 2n de Batxillerat està analitzant diferents tipus de models matemàtics. Es troben amb el sistema d'equacions següent:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 0 \\ x + 4y - 5z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \end{cases}$

Indica raonadament per què aquest sistema es classifica com a sistema homogeni i comprova si la terna $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ n'és solució. Com es denomina tècnicament aquesta solució?

Determina si el sistema homogeni següent de dues equacions amb dues incògnites té únicament la solució trivial o si, per contra, té infinites solucions:

$\begin{cases} 2x + 5y = 0 \\ 4x + 10y = 0 \end{cases}$

Per a fer-ho, utilitza el determinant de la matriu de coeficients $A$.

Resol el següent sistema homogeni expressant les seves solucions en funció de dos paràmetres (forma paramètrica):

$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x - 4y + 2z = 0 \end{cases}$

Geomètricament, cada equació d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites representa un pla en l'espai. En el cas dels sistemes homogenis, tots els plans comparteixen una característica comuna respecte a la seva posició en l'eix de coordenades.

Observa el gràfic següent que representa tres plans intersecant-se:

Si el punt destacat és l'origen de coordenades, és possible que un sistema homogeni sigui incompatible (que no tingui cap solució)? Justifica la teva resposta basant-te en la interpretació geomètrica.

Un estudi d'arquitectura dissenya una estructura basada en tres bigues de suport les tensions internes de les quals, representades per les variables $x$, $y$ i $z$, han d'estar en equilibri. El model matemàtic resultant és el sistema homogeni següent:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 4x + y + 5z = 0 \end{cases}$

1. a) Justifica, sense resoldre el sistema, per què sempre admet almenys una solució.
2. b) Calcula el rang de la matriu de coeficients i determina si l'estructura només té la "solució de repòs" (trivial) o si permet altres configuracions d'equilibri.
3. c) En cas que existeixin solucions no trivials, troba la seva expressió general.

Tres empreses de tecnologia, Alpha, Beta i Gamma, intercanvien serveis de consultoria mensualment. El cost dels serveis es compensa de manera que el flux net de caixa al final del trimestre sigui zero per al sistema global. Es modela el balanç de pagaments pendents mitjançant el sistema homogeni següent, on $x, y, z$ representen els pagaments mensuals de cada empresa:

$$ \begin{cases} 2x - ay + z = 0 \\ ax - 4y + (a-2)z = 0 \\ x + 2y - z = 0 \end{cases} $$

Determina el valor del paràmetre $a$ per al qual les empreses poden fer pagaments no nuls sense trencar l'equilibri del sistema. Per a aquest valor, calcula la relació de proporcionalitat entre els pagaments de les tres empreses.

En un laboratori de química, es barregen tres components per estabilitzar un reactiu. Les proporcions relatives $x, y, z$ han de satisfer el sistema:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ x + 3y + z = 0 \\ 3x + 10y + 4z = 0 \end{cases}$

Demostra que el sistema és compatible indeterminat i obtén les seves solucions depenent d'un paràmetre $\lambda$. Si el laboratori exigeix que $z = 5$, quin seria el valor dels altres dos components?

Un sistema de control de trànsit en una zona de baixes emissions d'una ciutat espanyola analitza el flux de vehicles en tres carrers principals. El nombre de cotxes que entren i surten d'una intersecció central ha de complir la condició de balanç net nul (entrades = sortides). El sistema es descriu per:

$$ \begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} $$

Analitza la compatibilitat d'aquest sistema de 4 equacions amb 3 incògnites en funció del paràmetre $a$. És possible que el sistema sigui compatible indeterminat tot i tenir més equacions que incògnites? Justifica la teva resposta fent servir el rang de la matriu ampliada.