Intervals de confiança

Un analista de xarxes socials vol estudiar el temps diari que passen els adolescents espanyols d'entre 15 i 18 anys a TikTok. Per fer-ho, selecciona a l'atzar 400 usuaris d'aquesta franja d'edat a tot el país i registra els seus temps de connexió.

Identifica de manera clara els elements següents de l'estudi estadístic:

1. a) La població objecte d'estudi.

1. b) La mostra seleccionada.

1. c) La mida mostral.

1. d) L'estadístic que es calcularia per resumir la informació de la mostra.

Se sap que el temps d'espera a la cua d'una atracció popular d'un parc temàtic segueix una distribució normal amb una mitjana de $\mu = 45$ minuts i una desviació típica de $\sigma = 12$ minuts.

Si triem una mostra aleatòria de $n = 36$ visitants que han passat per l'atracció:

1. Quina és la distribució que segueix la mitjana mostral $\bar{X}$? Indica la seva mitjana i la seva desviació típica (error estàndard).

2. Calcula la probabilitat que el temps mitjà d'espera d'aquesta mostra sigui superior a $48$ minuts.

En inferència estadística, el valor crític $z_{\alpha/2}$ és fonamental per determinar l'amplitud d'un interval de confiança. És el valor de la distribució normal estàndard $N(0, 1)$ que deixa a la seva dreta una àrea $\alpha/2$, essent $1-\alpha$ el nivell de confiança (a la figura, l'àrea central és $1-\alpha$ i cada cua val $\alpha/2$).

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard $N(0, 1)$, obtén els valors crítics $z_{\alpha/2}$ corresponents als nivells de confiança següents:

1. a) Un nivell de confiança del $90\,\%$.

1. b) Un nivell de confiança del $95\,\%$.

1. c) Un nivell de confiança del $99\,\%$.

Una empresa de missatgeria està estudiant el pes dels paquets que lliura en una ciutat. Es suposa que la població segueix una distribució normal amb una desviació típica de $\sigma = 0,8$ kg. Es pren una mostra aleatòria de $n = 64$ paquets i s'obté una mitjana mostral de $\bar{x} = 4,2$ kg.

Calcula un interval de confiança per al pes mitjà de tots els paquets lliurats per l'empresa, utilitzant un nivell de confiança del $95\%$.

Un conegut creador de contingut està analitzant el temps de permanència dels seus seguidors en les seves transmissions en directe d'e-sports. Se sap que el temps de connexió segueix una distribució normal amb una desviació típica de $12$ minuts. Després d'analitzar una mostra aleatòria de $144$ usuaris, s'ha obtingut un interval de confiança per a la mitjana poblacional de $(32,35; 36,25)$.

1. a) Determina el valor de la mitjana mostral obtinguda i el nivell de confiança utilitzat per construir aquest interval.

1. b) Si el streamer vol reduir l'amplitud d'aquest interval a la quarta part mantenint el mateix nivell de confiança, quin hauria de ser la mida mínima de la mostra?

1. c) Explica, sense fer càlculs addicionals, què passaria amb la precisió de l'estimació si augmentéssim la mida de la mostra però també volguéssim treballar amb un nivell de confiança superior al calculat a l'apartat a).

En un institut d'educació secundària, es sospita que el $15\%$ dels alumnes són esquerrans. Es selecciona una mostra aleatòria de $n = 100$ alumnes per comprovar-ho.

1. Quina distribució segueix la proporció mostral $\hat{p}$ d'alumnes esquerrans? Indica la seva mitjana i la seva desviació típica.

2. Calcula la probabilitat que en la mostra seleccionada la proporció d'alumnes esquerrans sigui inferior al $18\%$.

Es vol estimar la proporció de llars d'una ciutat que separen els residus orgànics per reciclar. Per fer-ho, s'enquesta una mostra aleatòria de $n = 400$ llars, de les quals $160$ afirmen fer aquesta separació.

Determina l'interval de confiança per a la proporció de llars que reciclen matèria orgànica a tota la ciutat, utilitzant un nivell de confiança del $90\%$.

En una enquesta realitzada a $400$ estudiants d'un institut sobre l'ús de plataformes de streaming, $260$ van afirmar que prefereixen veure sèries abans que pel·lícules.

1. a) Troba l'estimació puntual de la proporció d'alumnes que prefereixen les sèries.

1. b) Obtén un interval de confiança al $97\,\%$ per a la proporció real d'estudiants que prefereixen les sèries en aquest institut.

Es vol realitzar una estimació de la proporció de ciutadans que estarien disposats a utilitzar el transport públic si aquest fos gratuït. En un estudi previ es desconeix la proporció esperada, per la qual cosa s'assumeix el cas de màxima variància ($p = q = 0,5$).

Determina la mida mínima de la mostra necessària per estimar aquesta proporció amb un error màxim del $4 \%$ i un nivell de confiança del $95,44 \%$ (que correspon a un valor crític $z_{\alpha/2} = 2$).

Una empresa de telefonia mòbil vol estimar la proporció d'adolescents que utilitzen el "mode fosc" en els seus dispositius durant la nit. En una mostra inicial de $100$ usuaris, el $60\%$ va confirmar que l'utilitzava.

1. a) Calcula l'interval de confiança al $98\%$ per a la proporció poblacional d'usuaris d'aquest mode.

1. b) Suposem que no es té cap informació prèvia sobre la proporció (situació de màxima incertesa). Determina la mida de la mostra necessària perquè l'error màxim admissible sigui de $0,02$ amb un nivell de confiança del $95\%$.

1. c) Si s'utilitza la proporció obtinguda en la mostra inicial ($0,6$) per al càlcul de la mida mostral sota les mateixes condicions de l'apartat b) (error $0,02$ i confiança $95\%$), quants usuaris menys caldria enquestar respecte al cas de màxima incertesa?

Dos instituts, A i B, mesuren el temps mitjà que els seus alumnes de 2n de Batxillerat dediquen a estudiar matemàtiques a la setmana. En tots dos se sap que la desviació típica poblacional és de $1,5$ hores.

Es pren una mostra de $100$ alumnes a cada institut. A l'institut A, l'interval de confiança obtingut per a la mitjana té una amplitud de $0,588$ hores. A l'institut B, l'interval de confiança obtingut per a la mitjana és $(6,2; 7,2)$.

1. a) Determina el nivell de confiança utilitzat a l'institut A.
2. b) Determina el nivell de confiança utilitzat a l'institut B.
3. c) Quin dels dos centres ha realitzat una estimació més precisa? Justifica la teva resposta.

Una marca de roba "eco-friendly" afirma que el $30\,\%$ dels seus clients són menors de $20$ anys. Per verificar-ho, es pren una mostra aleatòria de $500$ clients i s'observa que $135$ d'ells tenen menys de $20$ anys.

1. a) Construeix un interval de confiança al $99\,\%$ per a la proporció de clients menors de $20$ anys basant-te en les dades de la mostra.

1. b) A la vista del resultat, podem considerar que l'afirmació de la marca és coherent amb les dades obtingudes amb un nivell de confiança del $99\,\%$? Explica per què.

El temps de reacció dels pilots d'un simulador de vol d'última generació segueix una distribució normal amb mitjana desconeguda i desviació típica de $0,05$ segons. En prendre una mostra de $64$ pilots, s'observa una mitjana de $0,42$ segons.

1. a) Obtén l'interval de confiança per a la mitjana poblacional a un nivell de confiança del $97\%$.

1. b) El fabricant del simulador afirma que el temps mitjà de reacció és de $0,40$ segons. És aquesta afirmació compatible amb l'interval obtingut en l'apartat anterior? Justifica la teva resposta basant-te en la relació entre intervals de confiança i paràmetres poblacionals.

1. c) Si es decideix duplicar la mida de la mostra i reduir el nivell de confiança al $90\%$, com afectarà això a l'amplitud de l'interval? Calcula el factor de reducció o augment de l'amplitud.