Teorema de Bayes

Per arribar al centre, un estudiant pot anar en autobús ($80\,\%$ de les vegades) o en bicicleta ($20\,\%$). Quan va en autobús, arriba tard el $10\,\%$ dels dies a causa del trànsit. Quan va en bicicleta, només arriba tard el $5\,\%$ de les vegades. Si un dia l'estudiant arriba tard a classe, calcula la probabilitat que hagi anat en autobús.

Una marca de sabatilles fabrica els seus models en dues fàbriques diferents: el $70\,\%$ a la fàbrica $A$ i el $30\,\%$ a la fàbrica $B$. El control de qualitat ha detectat que el $2\,\%$ de les sabatilles de la fàbrica $A$ tenen algun defecte de costura, mentre que a la fàbrica $B$ els defectes apareixen en el $5\,\%$ de la producció. Un client compra unes sabatilles i descobreix que tenen un defecte de costura. Calcula la probabilitat que hagin estat fabricades a la fàbrica $B$.

Un filtre de correu electrònic classifica automàticament els missatges com a spam. El filtre marca correctament com a spam el $98\,\%$ dels correus que realment ho són. Tanmateix, també envia a la carpeta de spam el $4\,\%$ dels correus legítims. S'estima que el $10\,\%$ del correu que arriba a una bústia és spam. Si un correu triat a l'atzar ha estat marcat com a spam, calcula la probabilitat que realment ho sigui.

En un centre de salut s'està realitzant un estudi sobre l'eficàcia d'un test de diagnòstic per a una al·lèrgia alimentària que afecta el $8\,\%$ de la població juvenil. Les dades clíniques indiquen que, si una persona pateix l'al·lèrgia, el test dona positiu en el $95\,\%$ dels casos. D'altra banda, si la persona no pateix l'al·lèrgia, el test dona un "fals positiu" (resultat positiu sense estar malalt) en el $4\,\%$ de les ocasions. Si es tria un jove a l'atzar i el seu resultat en el test és positiu, calcula la probabilitat que realment pateixi aquesta al·lèrgia.

En una ciutat, el $70\,\%$ dels ciutadans utilitza una aplicació mòbil per pagar el transport públic, mentre que la resta utilitza targeta física. S'observa que el $15\,\%$ dels que utilitzen l'aplicació tenen problemes de lectura en el validador, enfront del $5\,\%$ dels que utilitzen targeta física. Si un validador emet un senyal d'error de lectura, quina és la probabilitat que l'usuari estigui intentant pagar amb l'aplicació mòbil?

Un fabricant de components electrònics per a telèfons intel·ligents té tres línies de producció: A, B i C. La línia A produeix el $45\,\%$ dels components, la B el $30\,\%$ i la C el $25\,\%$. Es sap que la probabilitat que un component sigui defectuós és del $1\,\%$ a la línia A, del $2\,\%$ a la línia B i del $3\,\%$ a la línia C. Si es selecciona un component a l'atzar i resulta ser defectuós, determina raonadament quina línia de producció és més probable que l'hagi fabricat.

Una empresa de logística d'última milla distribueix paquets en una ciutat utilitzant tres tipus de vehicles: furgonetes elèctriques ($60\,\%$), motocicletes ($30\,\%$) i bicicletes de càrrega ($10\,\%$). La probabilitat que un paquet arribi amb retard és del $2\,\%$ si es lliura en furgoneta, del $5\,\%$ si és en motocicleta i del $8\,\%$ si és en bicicleta. Si un client truca per queixar-se perquè el seu paquet ha arribat tard, quina és la probabilitat que el repartidor anés en bicicleta de càrrega?

Una xarxa social utilitza un algorisme d'intel·ligència artificial per detectar comentaris d'odi. Es sap que el $5\,\%$ dels comentaris publicats són realment inapropiats. L'algorisme identifica correctament com a "inapropiat" el $98\,\%$ dels comentaris que realment ho són. Tanmateix, etiqueta erròniament com a "inapropiat" el $3\,\%$ dels comentaris que són respectuosos. Si el sistema acaba de bloquejar un comentari per marcar-lo com a "inapropiat", quina és la probabilitat que el comentari fos realment respectuós?

Una multinacional tecnològica utilitza tres proveïdors diferents per als microxips dels seus nous ordinadors portàtils per a gaming. El proveïdor $A$ subministra el $45\%$ dels xips, el proveïdor $B$ el $35\%$, i la resta procedeixen del proveïdor $C$. Es sap per controls de qualitat previs que el $1\%$ dels xips de $A$ són defectuosos, mentre que per a $B$ i $C$ aquests percentatges són del $2\%$ i del $3\%$, respectivament. Un usuari compra un portàtil i, al cap d'un mes d'ús, pateix una fallida crítica a causa del microxip. Calcula la probabilitat que el xip defectuós hagi estat subministrat pel proveïdor $B$.