Calcular un límit a la selectivitat és, gairebé sempre, aplicar un procediment fix: substituir, detectar si apareix una indeterminació i, segons quina sigui, aplicar la tècnica que la resol. Aquest apartat reuneix les quatre indeterminacions que has de dominar amb total seguretat.
Per a funcions contínues en $a$, si en substituir $x=a$ no apareix cap indeterminació, el límit és, senzillament, $f(a)$.
Practica★☆☆Sense començar
Donada la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, determina de forma visual el valor dels límits següents: a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$ b)…
Donada la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, determina de forma visual el valor dels límits següents:
Indeterminació $\frac00$ amb polinomis: factoritzar
Si $P(a)=0$ i $Q(a)=0$ en $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, tots dos polinomis comparteixen el factor $(x-a)$: factoritzant (amb Ruffini si cal) i simplificant, la indeterminació desapareix.
Practica★☆☆Sense començar
Per entendre el concepte de límit, analitzarem el comportament de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ quan els valors de $x$ s'apropen molt a $2$, però sense…
Per entendre el concepte de límit, analitzarem el comportament de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ quan els valors de $x$ s'apropen molt a $2$, però sense arribar a ser exactament $2$.
Completa la taula de valors següent utilitzant la teva calculadora i prediu quin serà el valor del $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$:
Radicals: el conjugat resol $\frac00$ i $\infty-\infty$
Quan una indeterminació va acompanyada d'una arrel, ni factoritzar ni comparar graus funciona directament: cal multiplicar i dividir pel conjugat, que converteix l'arrel en un quadrat.
Practica★★★Sense començar
En l'anàlisi de la propagació d'una notícia en una xarxa social, s'utilitza la funció $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \cdot e^{-0,5t}}$, on $P$ és el percentatge de la…
En l'anàlisi de la propagació d'una notícia en una xarxa social, s'utilitza la funció $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \cdot e^{-0,5t}}$, on $P$ és el percentatge de la població que coneix la notícia i $t$ el temps en hores.
a) Calcula $\lim_{t \to \infty} P(t)$ i interpreta el resultat en el context del problema.
b) Si la velocitat de propagació ve donada per la derivada (que estudiarem més endavant, però suposem que et donen l'expressió simplificada del creixement relatiu), analitza què passa amb la diferència $100 - P(t)$ quan $t \to \infty$.
c) Determina raonadament si la funció té cap asímptota vertical.
Quan numerador i denominador tendeixen tots dos a infinit, el resultat depèn només de comparar-ne els graus (si són polinomis) o, en general, d'identificar quin terme domina.
Practica★★☆Sense començar
Determina el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè existeixi el límit de la funció $f(x)$ en el punt $x = 1$, essent la funció: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2…
Determina el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè existeixi el límit de la funció $f(x)$ en el punt $x = 1$, essent la funció:
Quan la base d'una potència tendeix a $1$ i l'exponent tendeix a infinit, no es pot substituir directament: el resultat s'expressa amb el nombre $e$.
Practica★★★Sense començar
Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que existeix el límit finit de la…
Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que existeix el límit finit de la funció quan $x$ tendeix a $1$ i que aquest límit val exactament $L = -2$. Un cop trobats els paràmetres, justifica raonadament si la funció presenta una asímptota vertical en $x = -1$.