Intervals de creixement i decreixement

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 3x + 5$, fes els passos següents per estudiar la seva monotonia:

1. Troba la funció derivada $f'(x)$.

2. Determina els punts on la derivada és igual a zero (punts crítics).

3. Situa aquests punts a la recta real i analitza el signe de $f'(x)$ en cada interval per indicar on la funció és creixent i on és decreixent.

El departament d'urbanisme d'una ciutat estudia el nivell de soroll, $N(t)$ en decibels, en un carrer cèntric des de les 8:00 ($t=0$) fins a les 12:00 ($t=4$), segons la funció:

$N(t) = t^2 - 4t + 70$

Utilitza la primera derivada per justificar si el soroll augmenta o disminueix a les 9:00 ($t=1$) i a les 11:00 ($t=3$). En quin moment exacte el soroll deixa de baixar per començar a pujar?

Una petita empresa de disseny de fundes per a mòbils ha determinat que els seus beneficis diaris, en euros, venen donats per la funció $B(x) = -x^2 + 12x - 20$, on $x$ és el nombre de fundes venudes al dia.

Calcula la funció derivada $B'(x)$ i estudia per a quins valors de $x$ la funció és creixent i per a quins és decreixent. A partir de quantes fundes venudes el benefici comença a disminuir?

Una empresa que desenvolupa aplicacions per a mòbils ha comprovat que els seus beneficis mensuals, en milers d'euros, segueixen la funció $B(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 20$, on $x$ representa el temps en mesos des del llançament de la seva última actualització ($0 \le x \le 12$). Determina els intervals de temps en què els beneficis de l'empresa estan creixent i aquells en què estan disminuint.

Es considera la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 4}$, on $a$ és un paràmetre real.

1. a) Determina el valor de $a$ perquè la funció tingui un punt crític en $x = 2$.
2. b) Per al valor de $a$ trobat anteriorment, estudia els intervals de creixement i decreixement de la funció, tenint en compte el seu domini.
3. c) Existeix algun valor de $a$ per al qual la funció sigui sempre creixent en els intervals $(-\infty, 4)$ i $(4, +\infty)$? Justifica la teva resposta analíticament.

Un analista financer ha determinat que el benefici net d'una empresa tecnològica (en milions d'euros) segueix la funció $B(t) = (t^2 - 8t + 15) \cdot e^{0,5t}$, on $t$ representa el temps en anys des de la seva fundació ($0 \le t \le 10$).

1. a) Calcula la funció de benefici marginal, $B'(t)$.
2. b) Estudia els intervals de temps en què el benefici de l'empresa està augmentant i aquells en què està disminuint.
3. c) En quin any exacte l'empresa passa de tenir pèrdues creixents a tenir pèrdues decreixents? Interpreta el resultat basant-te en la monotonia.

Donada la funció $f(x) = \ln(x^2 - kx + 9)$, estudia la seva monotonia en funció dels valors del paràmetre $k$. En particular:

1. a) Determina el domini de la funció per a $k = 0$ i estudia els seus intervals de creixement i decreixement.
2. b) Troba els valors de $k$ per als quals la funció té un únic punt crític.
3. c) Si $k = 10$, explica per què no té sentit estudiar el creixement en tot l'eix real $\mathbb{R}$.