Integrals definides. Regla de Barrow
Fins ara has calculat primitives: famílies de funcions amb una constant $+C$ solta. Una integral definida és una altra cosa: és un nombre concret, el resultat d'avaluar una primitiva entre dos límits. Aquest nombre mesura, entre altres coses, quant ha crescut una magnitud (ingressos, població, cost) entre dos instants.
La integral definida i la regla de Barrow
Calcula el valor de la integral definida següent aplicant la Regla de Barrow, la qual representa l'àrea sota la paràbola $f(x) = x^2 + 2$ en l'interval $[0, 3]$:…
Calcula el valor de la integral definida següent aplicant la Regla de Barrow, la qual representa l'àrea sota la paràbola $f(x) = x^2 + 2$ en l'interval $[0, 3]$:
$$\int_{0}^{3} (x^2 + 2) \, dx$$Troba el valor de la integral definida de la funció exponencial bàsica entre els valors 0 i 1: $$\int_{0}^{1} e^x \, dx$$ Nota: Expressa el resultat en funció del nombre…
Troba el valor de la integral definida de la funció exponencial bàsica entre els valors 0 i 1:
$$\int_{0}^{1} e^x \, dx$$Nota: Expressa el resultat en funció del nombre $e$.
Una empresa de missatgeria ha comprovat que el cost marginal de processar els seus paquets (en euros per paquet) ve donat per la funció $C'(x) = 0,06x + 2$, on $x$ és el…
Una empresa de missatgeria ha comprovat que el cost marginal de processar els seus paquets (en euros per paquet) ve donat per la funció $C'(x) = 0,06x + 2$, on $x$ és el nombre de paquets. Calcula l'increment del cost total si el nombre de paquets processats passa de 10 a 20 mitjançant la integral:
$$\int_{10}^{20} (0,06x + 2) \, dx$$Propietats: additivitat i funcions a trossos
Quan coneixes el valor d'algunes integrals, moltes vegades pots deduir-ne d'altres sense calcular cap primitiva.
Donada una funció contínua $f(x)$, es coneixen els valors següents de les seves integrals definides: $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$ $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$…
Donada una funció contínua $f(x)$, es coneixen els valors següents de les seves integrals definides:
-
$\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$
-
$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$
Utilitzant les propietats de la integral definida, calcula el valor de $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.
Considera la funció definida a trossos: $f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ Calcula el valor de la integral…
Considera la funció definida a trossos:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
Calcula el valor de la integral definida $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ aplicant la propietat d'aditivitat de la integral respecte a l'interval d'integració.
La integral com a magnitud acumulada
Si una quantitat canvia amb un cert ritme (cost marginal, velocitat, flux de clients), el total acumulat entre dos instants és la integral definida d'aquest ritme.
El flux de clients que entra en un centre comercial un dissabte al matí es pot modelitzar mitjançant la funció $f(t) = 100 + 20t$ (clients per hora), on $t$ és el temps…
El flux de clients que entra en un centre comercial un dissabte al matí es pot modelitzar mitjançant la funció $f(t) = 100 + 20t$ (clients per hora), on $t$ és el temps en hores des de l'obertura ($t=0$). Calcula el nombre total de clients que han entrat des de la segona fins a la quarta hora després de l'obertura:
$$\int_{2}^{4} (100 + 20t) \, dt$$Una empresa de missatgeria ha estimat que la seva taxa de variació d'ingressos diaris (en centenars d'euros) ve donada per la funció $I'(t) = 0,3t^2 - 2t + 10$, on $t$…
Una empresa de missatgeria ha estimat que la seva taxa de variació d'ingressos diaris (en centenars d'euros) ve donada per la funció $I'(t) = 0,3t^2 - 2t + 10$, on $t$ és el temps en hores des de l'obertura ($0 \le t \le 8$). Utilitza la regla de Barrow per calcular l'increment total dels ingressos entre la tercera hora ($t=3$) i la sisena hora ($t=6$) de la seva jornada.
El teorema fonamental: funcions definides per una integral
De vegades el límit superior d'una integral no és un nombre fix, sinó una variable (o una funció d'aquesta). El resultat és llavors una funció, i el teorema fonamental del càlcul diu com derivar-la sense calcular cap primitiva.
Determina el valor del paràmetre positiu $k$ perquè l'àrea tancada per la funció $f(x) = kx^2$ i l'eix $OX$ entre les rectes $x = 0$ i $x = 3$ sigui exactament de $18$…
Determina el valor del paràmetre positiu $k$ perquè l'àrea tancada per la funció $f(x) = kx^2$ i l'eix $OX$ entre les rectes $x = 0$ i $x = 3$ sigui exactament de $18$ unitats quadrades.
Sigui la funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sap que té un extrem relatiu al punt $P(1, -4)$ i que la integral definida de la funció en l'interval…
Sigui la funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sap que té un extrem relatiu al punt $P(1, -4)$ i que la integral definida de la funció en l'interval $[0, 3]$ és igual a $0$.
- a) Determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.
- b) Calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x)$ i l'eix d'abscisses $OX$.
Donada la funció integral $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, definida per a $x \geq 1$: a) Utilitza el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena per…
Donada la funció integral $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, definida per a $x \geq 1$:
- a) Utilitza el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena per trobar la funció derivada $F'(x)$.
- b) Sense necessitat de calcular la integral de forma explícita, determina si la funció $F(x)$ és creixent o decreixent en el seu domini i justifica si té cap punt d'inflexió.
- c) Calcula el valor exacte de $F(e)$ integrant per parts.