Estimació puntual: estimadors, biaix i quasivariància

Per estimar l'alçada mitjana dels estudiants de $2.º$ de Batxillerat d'una ciutat es pren una mostra aleatòria de $5$ estudiants, amb aquests resultats en centímetres: $165$, $170$, $172$, $168$, $175$.

• a) Calcula l'estimador puntual de la mitjana poblacional.

• b) Explica per què aquest valor és només una estimació i no la mitjana vertadera.

En una enquesta a $300$ estudiants triats a l'atzar, $87$ afirmen anar a l'institut en bicicleta.

• a) Quin és l'estimador puntual de la proporció poblacional d'estudiants que van en bicicleta? Calcula'l.

• b) Expressa el resultat com a percentatge i interpreta'l.

Cert o fals, raonant la resposta: «La mitjana mostral és un estimador no esbiaixat de la mitjana poblacional, és a dir, si prenguéssim moltes mostres de la mateixa mida i en calculéssim les mitjanes, la mitjana de totes aquestes coincidiria amb la mitjana de la població».

Una empresa vol estimar la mitjana d'una població i un analista proposa com a «estimador» prendre el valor màxim de la mostra.

• a) Considera la població formada pels valors $\{2, 4, 6\}$ i totes les mostres de mida $2$ amb reemplaçament. Calcula la mitjana poblacional i la mitjana dels màxims de totes les mostres possibles.

• b) A la vista del resultat, és aquest estimador no biaixat? Explica què és el biaix d'un estimador a partir dels teus càlculs.

Sigui la població formada pels cinc valors $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

• a) Calcula la mitjana poblacional $\mu$.

• b) Escriu totes les mostres de mida $2$ sense reemplaçament i sense importar l'ordre, i calcula la mitjana de cadascuna.

• c) Calcula la mitjana d'aquestes mitjanes mostrals i comprova que coincideix amb $\mu$. Quina propietat de l'estimador «mitjana mostral» il·lustra aquest resultat?

Una mostra aleatòria d'una població ha donat els valors $4$, $6$, $5$ i $9$.

• a) Calcula la mitjana mostral.

• b) Calcula la variància mostral (dividint entre $n$) i la quasivariància mostral (dividint entre $n - 1$).

• c) Quina de les dues s'utilitza com a estimador no esbiaixat de la variància poblacional? Què significa «no esbiaixat»?

S'han mesurat els temps de càrrega completa (en minuts) de $8$ mòbils d'una mateixa marca: $74$, $81$, $69$, $78$, $85$, $72$, $77$, $80$.

• a) Estima la mitjana del temps de càrrega d'aquest model amb un estimador no biaixat.

• b) Estima la seva variància amb un estimador no biaixat (quasivariància).

• c) Calcula també la quasidesviació típica i interpreta tots dos resultats.

Un portal immobiliari pren una mostra de $6$ anuncis d'habitacions en lloguer en un barri, amb aquests preus mensuals en euros: $450$, $520$, $480$, $510$, $465$, $495$.

• a) Estima el preu mitjà del barri amb un estimador no biaixat.

• b) Estima la variabilitat dels preus calculant la quasivariància i la quasidesviació típica.

• c) Explica, amb els números d'aquest exercici, quina diferència hi ha entre dividir entre $n$ i entre $n - 1$, i per què l'estimació no biaixada utilitza $n - 1$.

En una mostra aleatòria de $500$ clients d'una cadena de supermercats, $210$ declaren utilitzar l'aplicació de la cadena per fer la compra.

• a) Estima la proporció poblacional de clients que utilitzen l'aplicació.

• b) Calcula l'error màxim de l'estimació amb una confiança del $95\ \%$, utilitzant $E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Interpreta el resultat: entre quins valors es troba, amb aquesta confiança, la proporció vertadera?

Per estimar la mitjana $\mu$ d'una distribució normal es proposen tres estimadors basats en una mostra aleatòria: la mitjana mostral, la mediana mostral i el punt mitjà entre el mínim i el màxim de la mostra.

• a) Explica què significa que un estimador sigui no biaixat i discuteix si cal esperar que tots tres ho siguin en una distribució simètrica com la normal.

• b) Explica què és l'eficiència d'un estimador i raona quin dels tres serà, en general, menys eficient. Per què se sol preferir la mitjana mostral?

D'una urna amb una proporció desconeguda $p$ de boletes vermelles s'extrauen $40$ boletes amb reemplaçament, i $14$ són vermelles.

• a) Dona l'estimador puntual de $p$ i el seu valor.

• b) Raona per què, si en lloc de $40$ extraccions es fessin $400$, l'error típic de l'estimació quedaria dividit aproximadament per $\sqrt{10}$. Utilitza l'expressió de l'error $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Quina relació hi ha entre aquesta propietat i la llei dels grans nombres?