Continuïtat. Tipus
Una tarifa al núvol que no canvia de preu en creuar cert llindar de gigabytes; una que sí que ho fa de cop. La diferència entre totes dues situacions és la continuïtat, i ara que domines els límits laterals i el càlcul de límits pots convertir-la en un criteri exacte, amb una classificació precisa del que passa quan falla.
Continuïtat en un punt: les tres condicions
Una funció és contínua en $x=a$ quan no hi ha cap trencament en la seva gràfica just allà: el valor al qual s'acosta pels dos costats coincideix amb el valor que realment pren.
Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica si la funció està definida a $x = 3$. Existeix el límit $\lim_{x \to 3} f(x)$? A partir de les teves respostes,…
Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica si la funció està definida a $x = 3$. Existeix el límit $\lim_{x \to 3} f(x)$? A partir de les teves respostes, decideix si la funció és contínua en aquest punt.
Una aplicació de repartiment a domicili cobra una comissió fixa depenent de la distància al restaurant. La funció que defineix el cost de l'enviament en euros, $f(x)$,…
Una aplicació de repartiment a domicili cobra una comissió fixa depenent de la distància al restaurant. La funció que defineix el cost de l'enviament en euros, $f(x)$, segons la distància $x$ en quilòmetres és:
$$f(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\ 4 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$Comprova si la funció és contínua en el punt $x = 3$ calculant els seus límits laterals.
Classificació de les discontinuïtats
Quan falla alguna de les tres condicions, hi ha tres maneres diferents en què pot fallar, i cadascuna té un nom i un aspecte gràfic propis.
Classifica el tipus de discontinuïtat que presenta la funció mostrada a la imatge en el punt $x = 2$. Justifica si es tracta d'una discontinuïtat evitable, de salt finit…
Classifica el tipus de discontinuïtat que presenta la funció mostrada a la imatge en el punt $x = 2$. Justifica si es tracta d'una discontinuïtat evitable, de salt finit o de salt infinit.
Estudia la continuïtat de la següent funció racional en tot el seu domini i classifica els seus punts de discontinuïtat: $$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$$ Per als…
Estudia la continuïtat de la següent funció racional en tot el seu domini i classifica els seus punts de discontinuïtat:
$$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$$Per als punts on la discontinuïtat sigui evitable, defineix una nova funció $g(x)$ que sigui contínua en aquest punt.
Continuïtat en funcions definides a trossos: trobar paràmetres
El tipus d'exercici més freqüent a l'EvAU: donats un o dos paràmetres en una funció definida a trossos, trobar-ne els valors perquè sigui contínua en tot $\mathbb{R}$.
Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la següent funció definida a trossos sigui contínua en tota la recta real $\mathbb{R}$: $$f(x) = \begin{cases} x +…
Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la següent funció definida a trossos sigui contínua en tota la recta real $\mathbb{R}$:
$$f(x) = \begin{cases} x + 2a & \text{si } x < -1 \\ 3x + b & \text{si } -1 \leq x < 2 \\ x^2 - 5 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Donada la funció dependent dels paràmetres reals $k$ i $m$: $$g(x) = \begin{cases} \frac{k \cdot \text{sen}(x)}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + m & \text{si } 0 \le x \le…
Donada la funció dependent dels paràmetres reals $k$ i $m$:
$$g(x) = \begin{cases} \frac{k \cdot \text{sen}(x)}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + m & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Troba els valors de $k$ i $m$ perquè $g(x)$ sigui una funció contínua en tot el conjunt dels nombres reals.
Continuïtat de funcions racionals en tot el seu domini
En una funció racional, els únics candidats a discontinuïtat són els punts que anul·len el denominador. Factoritzar numerador i denominador decideix, en cadascun, si la discontinuïtat és evitable o una asímptota vertical.
Una empresa de missatgeria urgent estableix les seves tarifes mensuals per a clients corporatius en funció del volum de paquets enviats ($x$, en centenars d'unitats). La…
Una empresa de missatgeria urgent estableix les seves tarifes mensuals per a clients corporatius en funció del volum de paquets enviats ($x$, en centenars d'unitats). La funció de cost total ($C(x)$, en milers d'euros) ve donada per:
$$C(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 2x}{x} & \text{si } 0 < x < 2 \\ k \cdot (x - 1) & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la funció sigui contínua a $x = 2$. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en el punt $x = 0$?
Torna al principi: La tarifa que salta de preu en superar un volum de dades presenta una discontinuïtat de salt finit en aquest llindar, mentre que la tarifa amb cost progressiu sense salts modelitza una funció contínua.