Propietats de les probabilitats

Un desenvolupador de videojocs està analitzant la probabilitat d'obtenir objectes rars en un cofre sorpresa. Els possibles resultats són: "Objecte comú" ($C$), "Objecte rar" ($R$) i "Objecte èpic" ($E$). Indica si l'assignació de probabilitats següent és vàlida segons els axiomes de Kolmogorov i justifica la teva resposta:

$P(C) = 0,65$

$P(R) = 0,20$

$P(E) = 0,25$

En un estudi sobre l'ús d'aplicacions mòbils entre adolescents, s'ha determinat que la probabilitat que un estudiant tingui instal·lada una aplicació d'edició de vídeo és $P(V) = 0,35$. Calcula la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar no tingui instal·lada aquesta aplicació.

En una caixa de materials per a un projecte de tecnologia hi ha 50 resistències. Se sap que algunes són de $100\ \Omega$ ($A$) i altres de $220\ \Omega$ ($B$), i algunes són noves i altres usades. S'extreu una a l'atzar. Si $P(A) = 0,6$ i els successos $A$ i $B$ són contraris, determina:

1. a) La probabilitat d'extreure una resistència de $220\ \Omega$.
2. b) Quin és el valor de $P(A \cap B)$? Justifica la teva resposta basant-te en la relació entre successos contraris.

Per a la festa de graduació, els alumnes de 2n de Batxillerat han de triar entre tres destinacions possibles: Mojácar, Mallorca o Tenerife. Se sap que la probabilitat que triïn Mojácar és $P(M) = 0,42$ i la que triïn Mallorca és $P(L) = 0,38$. Sabent que els successos són incompatibles (només poden triar una destinació), calcula:

1. a) La probabilitat que els alumnes viatgin a Mojácar o a Mallorca.
2. b) La probabilitat que no triïn cap d'aquestes dues destinacions i se'n vagin a Tenerife.

Siguin $X$ i $Y$ dos successos tals que $P(X) = 0,25$ i $P(Y) = 0,55$. Si sabem que aquests successos són incompatibles, calcula la probabilitat que:

1. a) Passi el succés $X$ o el succés $Y$.
2. b) No passi el succés $X$.
3. c) Passin $X$ i $Y$ al mateix temps.

Observa el diagrama de Venn següent que representa les probabilitats de diferents regions per a dos successos $M$ i $N$ en un espai mostral $E$.

A partir de les dades del diagrama, calcula les propietats següents:

1. a) $P(M \cup N)$
2. b) $P(M - N)$, és a dir, la probabilitat que passi $M$ però no $N$.
3. c) $P(\bar{M} \cup \bar{N})$ utilitzant les lleis de Morgan.
4. d) Són els successos $M$ i $N$ incompatibles? Justifica la teva resposta.

Considerem els successos $A$ i $B$ associats a un experiment aleatori. Si coneixem que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i que la probabilitat que no passi ni $A$ ni $B$ és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$, aplica les lleis de Morgan per trobar la probabilitat de la unió, $P(A \cup B)$.

Siguin $A$ i $B$ dos successos associats a un experiment aleatori. Se sap que la probabilitat que no passi cap dels dos és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. A més, es coneix que $P(A) = 0,5$ i que $P(B) = 0,4$.

Calcula raonadament les probabilitats següents:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A} | B)$
4. d) Determina si els successos $A$ i $B$ són independents.

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials entre joves de 2n de Batxillerat, s'analitzen dues plataformes: InstaPlus (succés $A$) i TikToker (succés $B$). Se sap que la probabilitat que un alumne en faci servir almenys una de les dues és de $0,8$. A més, la probabilitat que utilitzi la primera però no la segona és de $0,3$. Si se sap que la probabilitat que utilitzi totes dues plataformes és la meitat de la probabilitat que no en faci servir cap de les dues, calcula:

1. a) La probabilitat que un alumne, triat a l'atzar, utilitzi la plataforma TikToker.

1. b) Són els successos $A$ i $B$ independents? Justifica matemàticament la teva resposta comparant $P(A \cap B)$ amb el producte de les seves probabilitats individuals.

1. c) Calcula la probabilitat que utilitzi només una de les dues plataformes.