Propietats dels determinants

Suposa que estàs analitzant una matriu $A$ d'ordre $2 \times 2$ que representa els beneficis de dues sucursals d'una botiga de roba a Madrid i Barcelona. El determinant d'aquesta matriu és $|A| = 12$.

Calcula, sense realitzar el desenvolupament complet, el valor dels determinants següents aplicant les propietats corresponents:

1. a) El determinant de la transposada de la matriu: $|A^t|$.
2. b) El determinant de la matriu si intercanviem la fila de Madrid per la de Barcelona.
3. c) El determinant de la matriu si els beneficis de totes dues ciutats es dupliquessin (és a dir, calculant $|2 \cdot A|$).

Dada una matriu $C$ d'ordre 3 amb una columna formada íntegrament per zeros:

$C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \\ 9 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Raona, sense utilitzar la regla de Sarrus, per què el determinant d'aquesta matriu és necessàriament zero.

Una aplicació de disseny gràfic emmagatzema les coordenades d'un logotip en una matriu $M$ d'ordre 3. El sistema ens informa que el determinant d'aquesta matriu és $|M| = 0$.

Explica raonadament què pots afirmar sobre les files de la matriu $M$. Existeix la matriu inversa $M^{-1}$? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats dels determinants.

Sense calcular el valor dels determinants, justifica per què el determinant següent és igual a zero:

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 7 \\ 3 & 6 & 12 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relació entre la primera i la tercera fila).

Dada la matriu següent $B$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

Indica, sense necessitat d'aplicar la regla de Sarrus, quin és el valor del seu determinant $|B|$. Esmenta la propietat específica que t'ha permès arribar a aquesta conclusió de manera immediata.

Considera dues matrius quadrades $X$ i $Y$ d'ordre 3. Se sap que $|X| = 4$ i $|Y| = -2$.

Calcula el valor del determinant del producte de totes dues matrius, $|X \cdot Y|$, indicant quina propietat estàs utilitzant.

En un videojoc d'estratègia, la força d'atac de dues unitats ve donada pel determinant de la matriu $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Sabem que el valor d'aquest determinant és $|A| = -5$.

Si el jugador activa un "potenciador" que triplica únicament els valors de la primera fila, quin serà el nou valor del determinant? Justifica la teva resposta amb la propietat de la multiplicació d'una línia per un nombre real.

Se sap que el determinant d'una matriu $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ és igual a $7$.

A partir d'aquesta informació, calcula el valor del determinant de la matriu $B = \begin{pmatrix} z & t \\ x & y \end{pmatrix}$. Quina propietat has aplicat per saber si el signe canvia o es manté?

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 el determinant de la qual és $|A| = -2$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula el valor dels determinants següents justificant cada pas:

1. a) $|A^t|$, on $A^t$ és la matriu trasposada de $A$.

1. b) $|3A|$.

1. c) $|A^{-1}|$, suposant que $A$ és regular.

1. d) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar la primera i la tercera fila de $A$.