Concepte de límit

Analitza el domini de definició de la funció complexa següent, que combina restriccions logarítmiques i racionals sota una arrel quadrada:

$f(x) = \sqrt{\frac{\ln(x^2 - 8)}{x - 5}}$

Expressa el domini utilitzant la notació d'intervals. Raona com afecta cada component (el logaritme, el denominador i l'arrel) a l'exclusió de valors en la recta real.

Un analista de màrqueting està estudiant el creixement de seguidors d'un compte d'Instagram. La funció $f(x)=3x$ representa el nombre de seguidors (en milers) després de $x$ hores de llançar una campanya. Per entendre què passa just a la quarta hora, completa la taula de valors següent aproximant-te a $x = 4$ i prediu el valor del límit $\lim_{x \to 4} f(x)$.

1. a) Calcula els valors de $f(x)$ que falten a la taula (pots donar fins a tres decimals).

1. b) Observa cap a quin valor s'acosta $f(x)$ quan $x$ s'aproxima a $4$ per l'esquerra i per la dreta, i prediu el valor de $\lim_{x \to 4} f(x)$.

Observa la gràfica següent, que representa el nivell de càrrega d'una bateria intel·ligent $C(t)$ (en %) en funció del temps $t$ (en minuts). A causa d'un error en el programari, el sensor no registra el valor exacte en el minut $t = 3$ (punt buit), encara que la càrrega sembla seguir una tendència clara. Utilitza la gràfica per determinar els valors següents:

1. a) $\lim_{t \to 3^-} C(t)$ (límit quan ens apropem a 3 per l'esquerra).
2. b) $\lim_{t \to 3^+} C(t)$ (límit quan ens apropem a 3 per la dreta).
3. c) Existeix el límit global $\lim_{t \to 3} C(t)$? Justifica la teva resposta.

Donada la funció $f(x)$ representada en la gràfica següent, analitza l'existència del límit en els punts crítics. Per fer-ho:

1. Indica el valor dels límits laterals quan $x \to -1$ i quan $x \to 2$.

2. Determina si existeix el límit global en aquests punts.

3. Explica la diferència entre el valor de la funció $f(2)$ i el valor de $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Un estudi de mercat indica que el benefici d'una nova aplicació mòbil (en milers d'euros) segueix la funció $B(t) = \frac{2t^2 - 8}{t - 2}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament.

1. Què passa amb el benefici quan el temps s'aproxima als 2 mesos? Realitza una aproximació numèrica calculant $B(1,9)$, $B(1,99)$, $B(2,01)$ i $B(2,1)$.

2. Encara que la funció no està definida en $t = 2$, podries assignar un valor lògic al benefici en aquell instant basant-te en la tendència? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de límit.

Donada la funció $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$:

1. Calcula els límits laterals en el punt $x = 1$.

2. A partir dels resultats anteriors, raona si existeix el límit global en $x = 1$.

3. És possible redefinir la funció en $x = 1$ perquè sigui contínua? Justifica la teva resposta basant-te en el tipus de discontinuïtat.