Sistemes dependents d'un paràmetre

Considera el sistema següent de dues equacions amb dues incògnites, on $k$ és un nombre real:

$$\begin{cases} kx + y = 3 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$$

1. a) Determina per a quin valor de $k$ el sistema no té una solució única.

1. b) Si triem $k = 5$, què podem dir sobre la posició relativa de les dues rectes que representen les equacions?

Una petita empresa de desenvolupament d'aplicacions cobra per dos tipus de serveis: manteniment ($x$) i consultoria ($y$). El sistema que relaciona els ingressos de dos mesos és:

$$\begin{cases} x + 2y = 500 \\ 2x + ay = 1000 \end{cases}$$

1. a) Escriu la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $A^*$ associades al sistema.
2. b) Per a quin valor de $a$ el sistema té infinites solucions? Què significa això en el context dels serveis prestats?

Dat el sistema dependent del paràmetre real $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$

Utilitza el mètode de Gauss per demostrar que, per a qualsevol valor de $m \neq 1$, el sistema és incompatible. Què passa si $m = 1$?

Una empresa de missatgeria utilitza tres tipus de vehicles (furgonetes, motos i drons) per fer les seves entregues. Se sap que el cost operatiu diari de cada vehicle depèn d'un factor de manteniment variable $k$. La despesa total en tres rutes distintes ve donada pel sistema següent:

$$\begin{cases} x + 2y + kz = 3 \\ 3x + ky = 6 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

On $x, y, z$ representen el nombre de furgonetes, motos i drons operatius, respectivament.

1. a) Analitza la compatibilitat del sistema per als diferents valors de $k$.

1. b) Per a $k = 4$, determina si el sistema té solució única. En cas afirmatiu, calcula-la utilitzant la regla de Cramer.

Es donen els tres plans següents a l'espai tridimensional, les equacions dels quals depenen del paràmetre $m$:

$$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3: x + y + mz = 0$$

1. a) Determina per a quins valors de $m$ els tres plans es tallen únicament a l'origen de coordenades $(0, 0, 0)$.

1. b) Troba els valors de $m$ per als quals el sistema format per les tres equacions és compatible indeterminat. Per a cadascun d'aquests valors, indica la interpretació geomètrica de la posició relativa dels tres plans.

Un "influencer" està analitzant l'evolució dels seus seguidors en tres xarxes socials (TikTok, Instagram i Twitch). Siguen $x, y, z$ la variació neta de seguidors diaris (altes menys baixes, per la qual cosa pot ser negativa) a TikTok, Instagram i Twitch, respectivament. Aquestes variacions satisfan les condicions mensuals següents, on $m$ és un coeficient de viralitat:

$$\begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + 3y + mz = 5 \\ x + my + 3z = 8 \end{cases}$$

1. a) Discuteix el sistema en funció de $m$.

1. b) Si per a un determinat mes el coeficient de viralitat és $m = 2$, quina és la variació neta de seguidors diaris en cada xarxa social?

Es considera el sistema d'equacions següent dependent del paràmetre real $a$:

$$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$

1. a) Discuteix el sistema segons els diferents valors del paràmetre $a$.
2. b) Resol el sistema, si és possible, per al cas en què sigui compatible indeterminat i per al cas $a = 0$.

Dat el sistema d'equacions amb dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$

1. a) Discuteix el sistema en funció dels valors de $a$ i $b$.
2. b) Per als valors que fan que el sistema sigui compatible indeterminat, troba la solució general expressant-la en funció d'un paràmetre $\lambda$.