Successos

Un estudiant de 2n de Batxillerat està organitzant les seues carpetes digitals d'apunts. A la seua carpeta d'"Economia" té 12 arxius PDF, 8 documents de text i 5 esquemes en format imatge. Si tria un arxiu a l'atzar per repassar-lo abans d'un examen, determina:

1. a) L'espai mostral de l'experiment.

1. b) La probabilitat que l'arxiu triat siga un esquema en format imatge.

1. c) La probabilitat que l'arxiu triat no siga un document de text.

Extraiem una bola d'una urna que conté 10 boles numerades de l'1 al 10. Considerem els successos:

$A = \{ \text{treure un nombre parell} \}$

$B = \{ \text{treure un nombre múltiple de 3} \}$

1. a) Escriu els elements que formen els successos $A \cup B$ i $A \cap B$.
2. b) Calcula $P(A \cup B)$ utilitzant la Regla de Laplace sobre el recompte dels seus elements.
3. c) Comprova el resultat anterior aplicant la fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

En una classe de 2n de Batxillerat, s'ha realitzat una enquesta sobre l'ús de xarxes socials. Es sap que el succés $A$ és "utilitzar Instagram" i el succés $B$ és "utilitzar TikTok". Defineix mitjançant operacions de successos (unió, intersecció o complementari) les situacions següents:

1. a) L'alumne utilitza totes dues xarxes socials.
2. b) L'alumne utilitza almenys una de les dues xarxes.
3. c) L'alumne no utilitza Instagram.
4. d) L'alumne utilitza Instagram però no TikTok.

En un estudi sobre el consum de continguts digitals entre joves de 16 anys, s'ha detectat que el $70 \%$ utilitza la plataforma StreamVibe i el $45 \%$ utilitza CloudMusic. A més, es sap que un $25 \%$ dels joves no utilitza cap de les dues plataformes. Si triem un jove a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que utilitzi totes dues plataformes.
2. b) La probabilitat que utilitzi només StreamVibe.
3. c) La probabilitat que utilitzi CloudMusic però no StreamVibe.

Considera dos successos $A$ i $B$ associats a un experiment aleatori. Si sabem que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cap B) = 0,2$, calcula les probabilitats següents:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A})$ (probabilitat del succés contrari d'$A$).

1. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilitzant les Lleis de Morgan.

El diagrama de Venn recull només les dades de l'enunciat.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori dels quals es coneixen les probabilitats següents: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ i $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

Basant-te en les propietats de la probabilitat i les lleis de De Morgan, calcula:

1. a) La probabilitat de la unió dels successos, $P(A \cup B)$.
2. b) La probabilitat de la intersecció, $P(A \cap B)$.
3. c) Indica raonadament si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles.

Un equip d'e-sports té a la seva plantilla jugadors de tres nacionalitats: 5 espanyols, 3 francesos i 2 italians. Si es selecciona a l'atzar un capità per al pròxim torneig, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui francès.
2. b) La probabilitat que no sigui espanyol.
3. c) Són els successos "ser espanyol" i "ser italià" compatibles o incompatibles? Justifica la teva resposta.

Un estudiant de 2n de Batxillerat ha preparat 18 dels 25 temes de què consta el temari de Geografia. A l'examen final, el professor tria dos temes a l'atzar (sense reemplaçament). Calcula:

1. a) La probabilitat que l'alumne se sàpiga tots dos temes.
2. b) La probabilitat que no se'n sàpiga cap.
3. c) La probabilitat que se sàpiga almenys un dels dos temes seleccionats.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que les seves probabilitats són $P(A) = x$ i $P(B) = y$. Es sap que el succés unió té una probabilitat $P(A \cup B) = 0,75$ i que el succés intersecció compleix $P(A \cap B) = 0,15$.

Si a més es coneix que la probabilitat que ocorri $A$ condicionada a la no ocorrència de $B$ és $P(A | \bar{B}) = 0,5$, determina els valors de $x$ i $y$. Són $A$ i $B$ successos compatibles? Són independents?