Nombres combinatoris
Per organitzar la festa de graduació cal triar una comissió de $3$ persones entre $20$ voluntaris. Per calcular la probabilitat que un examen tipus test tingui exactament $k$ respostes encertades a l'atzar, cal comptar de quantes maneres es poden col·locar aquests $k$ encerts entre totes les preguntes. Tots dos problemes es resolen amb la mateixa eina: els nombres combinatoris.
El factorial
Calcula i simplifica el valor de les expressions següents sense utilitzar la calculadora, aplicant les propietats dels factorials: a) $\frac{8!}{6!}$ b) $\binom{7}{2}$…
Calcula i simplifica el valor de les expressions següents sense utilitzar la calculadora, aplicant les propietats dels factorials:
- a) $\frac{8!}{6!}$
- b) $\binom{7}{2}$
- c) $5! - 4!$
Nombres combinatoris: definició i significat
Per organitzar la festa de graduació de 2n de Batxillerat, s'ha d'escollir una comissió de festes formada per $3$ alumnes. Si a la classe hi ha $20$ estudiants…
Per organitzar la festa de graduació de 2n de Batxillerat, s'ha d'escollir una comissió de festes formada per $3$ alumnes. Si a la classe hi ha $20$ estudiants voluntaris, de quantes maneres diferents es pot escollir aquest grup? (L'ordre en què s'escull els alumnes no importa: només compta qui forma la comissió.) Utilitza la fórmula dels nombres combinatoris:
$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$Propietats: simetria i Stifel
En l'apartat de nombres combinatoris, hi ha una propietat de simetria que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$. Comprova aquesta propietat calculant els valors de…
En l'apartat de nombres combinatoris, hi ha una propietat de simetria que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.
Comprova aquesta propietat calculant els valors de $\binom{10}{8}$ i $\binom{10}{2}$. Quina conclusió obtens respecte a l'esforç de càlcul quan $r$ és un nombre proper a $n$?
Demostra, utilitzant la definició de nombre combinatori mitjançant factorials, la identitat següent (coneguda com la fórmula de les tres variables o propietat de…
Demostra, utilitzant la definició de nombre combinatori mitjançant factorials, la identitat següent (coneguda com la fórmula de les tres variables o propietat de Stifel):
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$Aplica aquest resultat per calcular el valor de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sense calcular cada terme per separat.
Variable discreta i variable contínua
Abans d'aplicar la combinatòria a la probabilitat, cal identificar quin tipus de variable aleatòria s'està comptant.
Abans d'estudiar la distribució binomial, és fonamental distingir el tipus de variable. Classifica les variables aleatòries següents com a discretes o contínues: 1. El…
Abans d'estudiar la distribució binomial, és fonamental distingir el tipus de variable. Classifica les variables aleatòries següents com a discretes o contínues:
-
El nombre de "m'agrada" que rep una publicació d'Instagram en una hora.
-
El temps exacte que triga un estudiant a arribar a l'institut.
-
El nombre de persones que donen positiu en un test d'antígens en una mostra de $50$ individus.
-
L'alçada dels jugadors de la selecció espanyola de bàsquet.
De la combinatòria a la probabilitat binomial
Quan es repeteix un experiment de dos resultats (èxit/fracàs) $n$ vegades, el nombre combinatori serveix per comptar de quantes maneres es poden col·locar els $k$ èxits entre els $n$ intents: aquest recompte és la peça que falta per a la fórmula de la binomial.
Un estudi afirma que el $70\%$ dels adolescents espanyols utilitza TikTok diàriament. Si seleccionem a l'atzar un grup de $8$ adolescents d'un institut: a) Identifica…
Un estudi afirma que el $70\%$ dels adolescents espanyols utilitza TikTok diàriament. Si seleccionem a l'atzar un grup de $8$ adolescents d'un institut:
- a) Identifica els paràmetres $n$ i $p$ de la distribució binomial que segueix aquesta situació.
- b) Defineix la variable aleatòria $X$ associada a aquest experiment.
- c) Quina és la probabilitat que exactament els $8$ adolescents utilitzin l'aplicació? (Expressa només el plantejament de la fórmula).
Sabent que per a una distribució binomial $B(n, p)$, la probabilitat d'obtenir $k$ èxits és: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$ Calcula la…
Sabent que per a una distribució binomial $B(n, p)$, la probabilitat d'obtenir $k$ èxits és:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$Calcula la probabilitat d'obtenir exactament $2$ cares en llançar una moneda equilibrada $4$ vegades.
En un centre d'alt rendiment esportiu es vol seleccionar un grup de 4 atletes per representar Espanya en una competició internacional de relleus. Si al centre hi ha 12…
En un centre d'alt rendiment esportiu es vol seleccionar un grup de 4 atletes per representar Espanya en una competició internacional de relleus. Si al centre hi ha 12 atletes disponibles (7 homes i 5 dones), calcula:
- a) El nombre total de formes diferents en què es pot triar l'equip de 4 persones.
- b) En quantes d'aquestes combinacions l'equip estaria format exactament per 2 homes i 2 dones?
- c) Utilitza les propietats dels nombres combinatoris per demostrar, sense calcular el valor numèric, que:
Torna al principi: En un examen tipus test de $n$ preguntes amb $4$ opcions per pregunta, la probabilitat d'encertar exactament $k$ a l'atzar és $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{n-k}$, on el combinatori compta totes les maneres possibles de repartir els encerts.