Exercicis: Inequacions i sistemes d'inequacions lineals

Representa en el pla el semipla solució de la inequació $2x + 3y \leq 12$ i comprova algebraicament si els punts $A(3, 2)$ i $B(2, 5)$ hi pertanyen. Quina particularitat té el punt $A$ respecte de la recta frontera?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Comprova, sense representar-la, si els punts $P(1, 4)$, $Q(-2, 0)$ i $R(0, -3)$ són solució de la inequació $3x - y > -5$. Indica a més si la recta $3x - y = -5$ forma part de la solució i per què.

La figura mostra un semipla solució delimitat per una recta que talla els eixos en dos punts assenyalats, tal com es mostra en la figura.

Dedueix l'equació de la recta frontera i escriu la inequació la solució de la qual és el semipla ombrejat. Està inclosa la frontera en la solució?

Representa el conjunt de punts del pla que verifiquen $y \geq 2x - 1$. Explica com decideixes quin semipla ombrejar i si la recta $y = 2x - 1$ pertany o no a la solució.

Cert o fals, raonant la resposta: «La solució de la inequació $3x - y < 6$ inclou tots els punts de la recta $3x - y = 6$».

Representa el recinte solució del sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$ i $x + y \leq 5$. Quina figura geomètrica s'obté? Indica els seus vèrtexs.

El triangle ombrejat de la figura és la solució d'un sistema de tres inequacions, tal com es mostra en la figura.

Quin dels sistemes següents és? Raona l'elecció descartant les altres opcions.

• a) $x \geq 1$, $y \geq 1$, $3x + 4y \leq 19$

• b) $x \leq 1$, $y \leq 1$, $3x + 4y \geq 19$

• c) $x \geq 1$, $y \geq 1$, $3x + 4y \geq 19$

• d) $x \geq 1$, $y \leq 1$, $3x + 4y \leq 19$

Una botiga de roba esportiva prepara la seva comanda de primavera: anomena $x$ el nombre de samarretes tècniques i $y$ el nombre de dessuadores que encarregarà. Per espai al magatzem no pot rebre més de $40$ peces de roba en total, i el proveïdor li exigeix encarregar almenys $10$ samarretes. Escriu el sistema d'inequacions que recull totes aquestes condicions.

En Marcos ha de representar el semiplà solució de la inequació lineal $3x - 2y \geq 0$. Per esbrinar quin costat de la recta frontera ha d'acolorir, decideix utilitzar l'origen de coordenades $(0,0)$ com a punt de prova, argumentant que «és el punt més ràpid de substituir». En Marcos calcula: $3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 \geq 0$, observa que la desigualtat es compleix i conclou que ha d'acolorir tot el semiplà que conté $(0,0)$. Tanmateix, en comprovar el seu dibuix amb les solucions del llibre, s'adona que no ha determinat de manera inequívoca quin semiplà és el correcte.

1. a) Explica per què el mètode seguit per en Marcos no permet decidir quin semiplà és la solució, identificant amb precisió el seu error conceptual.
2. b) Proposa un punt de prova alternatiu que sí que permeti resoldre la inequació sense ambigüitats, fes la comprovació algebraica i indica quin semiplà correspon a la solució (especificant si la recta frontera en forma part o no).

Per representar i determinar el semiplà solució de la inequació $4x - y < 8$, dos estudiants de 2n de Batxillerat proposen camins diferents:

• La Lucía proposa aïllar primer la variable $y$ per escriure la inequació com a $y > 4x - 8$. A partir d'aquí, dibuixa la recta $y = 4x - 8$ amb traç discontinu i afirma que, com que $y$ és «estrictament més gran», la solució correspon directament a tots els punts situats per sobre de la recta, sense necessitat de provar cap punt.

• En Sergio prefereix no aïllar cap incògnita. Dibuixa la recta frontera $4x - y = 8$ amb traç continu, tria el punt de prova $(0,0)$ i comprova que $4 \cdot 0 - 0 = 0 < 8$. Com que la desigualtat és certa, ombreja el semiplà on es troba l'origen.

1. a) Assenyala quin error comet en Sergio en el seu procediment gràfic i explica com corregir-lo.
2. b) Compara tots dos mètodes: quin et sembla més eficient per evitar errors amb els signes de les desigualtats en treballar amb coeficients negatius? Justifica la teva resposta indicant quin mètode triaries tu i per què.

Representa el recinte solució del sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 6$ i $x \leq 4$. Calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs i indica quin tipus de polígon és.

Atès el sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y \leq 10$ i $x + 2y \leq 8$:

• a) Representa el recinte solució.

• b) Troba els seus vèrtexs resolent els sistemes d'equacions necessaris.

Una preparadora física dissenya la recuperació dels seus esportistes amb dos tipus de batut. Cada batut del tipus A aporta $12$ g de proteïna i $8$ g de carbohidrats; cada batut del tipus B aporta $6$ g de proteïna i $14$ g de carbohidrats. La pauta diària exigeix un mínim de $48$ g de proteïna i de $56$ g de carbohidrats. Planteja, sense resoldre'l, el sistema d'inequacions que han de complir els nombres de batuts diaris $x$ i $y$ de cada tipus.

La figura mostra el recinte solució d'un sistema d'inequacions i quatre punts marcats sobre ell, tal com es mostra en la figura.

Decideix gràficament quins punts són solució del sistema i confirma la teva resposta comprovant algebraicament cada punt en el sistema $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 15$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Considera el sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 4$ i $x - y \leq 2$.

• a) Representa el recinte solució i troba els seus vèrtexs.

• b) Raona, a partir de la representació, si el recinte és acotat o no.

Un estudiant ha de representar la solució de $3x - 2y \geq 0$. Com que la recta $3x - 2y = 0$ passa per l'origen, prova amb el punt $(0, 0)$ i obté $0 \geq 0$, de manera que conclou que «la solució és tot el pla». Troba l'error en el seu raonament i explica com es decideix correctament el semipla solució en aquest cas.

La figura mostra un recinte triangular ombrejat les fronteres del qual són les rectes $x = 2$, $y = 1$ i $x + 2y = 12$, tal com es mostra en la figura.

• a) Escriu el sistema d'inequacions la solució del qual és aquest triangle.

• b) Calcula les coordenades dels seus tres vèrtexs.

L'associació de veïns organitza la seva festa anual i ven entrades d'adult ($x$) i de menor ($y$). El pavelló té un aforament màxim de $300$ persones; per acord amb l'ajuntament s'han de vendre almenys $50$ entrades d'adult, i l'experiència d'altres anys indica que el nombre de menors no superarà el doble que el d'adults. Planteja el sistema d'inequacions corresponent i representa el recinte de possibilitats.

Una empresa de missatgeria ecològica reparteix paqueteria en una Zona de Baixes Emissions (ZBE) de Sevilla utilitzant dos tipus de vehicles: bicicletes de càrrega ($x$) i furgonetes elèctriques ($y$). Els condicionants operatius del servei són els següents:

• Cada bicicleta transporta un màxim de $150\text{ kg}$ de càrrega i requereix $2\text{ m}^2$ d'espai a la base logística.

• Cada furgoneta transporta un màxim de $900\text{ kg}$ i ocupa $10\text{ m}^2$ a la base.

• L'empresa ha de garantir diàriament una capacitat de càrrega conjunta d'almenys $5\,400\text{ kg}$ per complir els seus contractes.

• La superfície total disponible a la base logística per estacionar aquests vehicles no pot superar els $70\text{ m}^2$.

• L'ordenança municipal de mobilitat exigeix que el nombre de bicicletes de càrrega sigui, almenys, el doble que el de furgonetes elèctriques.

1. a) Modela la situació plantejant el sistema d'inequacions lineals que defineixen les restriccions operatives de l'empresa, explicitant les condicions naturals sobre les variables.
2. b) Si un dia determinat només es disposa de $4$ furgonetes elèctriques en funcionament ($y = 4$), dedueix a partir del sistema quin nombre de bicicletes $x$ pot utilitzar l'empresa per satisfer totes les restriccions simultàniament.

Una cooperativa agrària de La Rioja elabora dos tipus de vi amb Denominació d'Origen Qualificada: Criança ($x$, en milers de litres) i Reserva ($y$, en milers de litres). Per a la campanya actual disposa d'un màxim de $40$ mil litres de vi base seleccionat i de $60$ mesos-bòta equivalents per al procés d'envelliment. Cada mil litres de Criança consumeix $1$ mil litres de vi base i $1$ unitat d'envelliment; cada mil litres de Reserva consumeix $1$ mil litres de vi base i $2$ unitats d'envelliment. A més, els compromisos comercials obliguen a elaborar almenys $10$ mil litres de Criança i almenys $5$ mil litres de Reserva.

1. a) Estima: Abans de resoldre formalment el sistema, observa els recursos disponibles. Si el director tècnic proposa embotellar $25$ mil litres de Criança ($x = 25$) i $18$ mil litres de Reserva ($y = 18$), estima raonadament si aquesta combinació té opcions de ser viable o si clarament sobrepassarà alguna de les capacitats, justificant la teva intuïció sense resoldre el sistema complet.
2. b) Comprova: Planteja el sistema d'inequacions que defineix la regió factible i comprova algebraicament si el punt $(25, 18)$ hi pertany o no. En cas negatiu, indica amb exactitud quin recurs s'exhaureix i en quina quantitat es sobrepassa.
3. c) Si es decideix mantenir la producció de Reserva en $18$ mil litres ($y = 18$), quina és la quantitat màxima de Criança que es pot produir complint totes les restriccions? Compara aquest valor amb la teva estimació inicial.

Considera el sistema format per $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$ i $y \leq k$, on $k > 0$ és un paràmetre.

• a) Representa el recinte per a $k = 6$ i per a $k = 2$.

• b) Determina per a quins valors de $k$ el recinte solució és un quadrilàter i per a quins és un triangle, justificant la resposta.

Representa la regió del pla definida per $|x| + |y| \leq 2$. Per a fer-ho, raona per quadrants: reescriu la condició sense valors absoluts en cadascun dels quatre quadrants i obtén la inequació corresponent. Quina figura resulta i quins són els seus vèrtexs?

Les rectes $x + y = 6$, $y = x - 2$ i $y = 0$ delimiten un triangle en el pla, tal com es mostra en la figura.

• a) Calcula els vèrtexs del triangle.

• b) Escriu el sistema de tres inequacions la solució del qual és exactament aquest triangle, comprovant que un punt interior, com ara el $(4, 1)$, verifica les tres desigualtats.

Un laboratori de cosmètica natural produeix dues cremes, hidratant ($x$ pots diaris) i reparadora ($y$ pots diaris). Cada pot d'hidratant necessita $3$ minuts en la màquina mescladora i $2$ minuts en l'envasadora; cada pot de reparadora, $2$ minuts de mescla i $4$ d'envasament. La mescladora pot treballar $60$ minuts al dia i l'envasadora, $64$ minuts, tal com es resumeix en la figura.

• a) Planteja el sistema d'inequacions del problema.

• b) Representa el recinte de produccions possibles.

• c) Troba els seus vèrtexs i indica quina producció màxima diària de crema hidratant seria possible si aquell dia no es fabriqués reparadora.

Una companyia de transport defineix el seu recinte de viabilitat en el pla cartesià mitjançant un polígon convex els vèrtexs del qual són $A(1, 2)$, $B(6, 2)$, $C(5, 5)$ i $D(1, 5)$. Per exigències operatives i legals:

• Els trams de frontera $AB$, $BC$ i $DA$ formen part de la solució permesa (frontera inclosa).

• Tanmateix, el tram superior que uneix $D$ i $C$ correspon a un límit crític d'emissions contaminants que sota cap concepte es pot assolir, per la qual cosa els punts d'aquest segment estan exclosos de la solució (frontera exclosa).

1. a) Planteja el problema invers: determina les equacions de les quatre rectes que delimiten el polígon i escriu el sistema d'inequacions lineals que defineix exactament aquest recinte, prestant especial atenció a l'ús de desigualtats estrictes o no estrictes.
2. b) Justifica algebraicament, sense basar-te en una aproximació visual, si el punt $P(3; 4,8)$ i el punt $Q(3, 5)$ pertanyen a la regió de viabilitat.
3. c) Es pretén afegir una nova restricció lineal de la forma $x + y \leq k$ que redueixi el recinte convertint-lo en un pentàgon, sense deixar fora cap dels vèrtexs $A$, $B$ ni $D$. Determina entre quins valors s'ha de trobar el paràmetre $k$ perquè això passi i justifica la teva resposta analitzant les posicions dels vèrtexs.

En un node d'evacuació d'energia renovable a Castella i Lleó es gestiona la injecció a la xarxa d'energia eòlica ($x$, en MWh) i solar fotovoltaica ($y$, en MWh). Les restriccions tècniques del node venen donades per:

Addicionalment, l'operador del sistema elèctric estableix una restricció per capacitat estacional d'evacuació: $x + y \leq k$, on $k$ és un paràmetre real positiu ($k > 0$).

1. a) Determina el valor mínim de $k$ per al qual existeix almenys un punt que compleix totes les restriccions simultàniament (és a dir, perquè la regió factible no sigui buida). Justifica quin punt del pla determina aquest llindar.
2. b) Troba el menor valor de $k$ a partir del qual la restricció $x + y \leq k$ esdevé redundant (és a dir, no elimina cap punt de la regió factible delimitada per les altres quatre restriccions). Justifica el resultat calculant les coordenades del vèrtex més allunyat en aquesta direcció.
3. c) Un analista sosté que si es fixa $k = 35$, la regió factible és un quadrilàter. Demostra rigorosament si la seva afirmació és vertadera o falsa determinant el nombre i les coordenades dels vèrtexs que s'obtenen per a aquest valor de $k$.

Repte del tema. Com optimitzar un pressupost ajustat a la realitat? Planificaràs la compra setmanal de dos aliments bàsics ($x$ i $y$) aplicant restriccions lineals.

1. Fase 1 (Obtenció de dades): Consulta el web de l'INE (o el catàleg digital d'un supermercat) i registra el preu per quilo de dos aliments (per exemple, llegums i fruita), així com una aportació nutricional de referència (com ara grams de fibra o proteïna per cada $100\text{ g}$).

2. Fase 2 (Modelització algebraica): Tradueix la situació a un sistema d'inequacions lineals amb almenys quatre restriccions: pressupost setmanal límit (per exemple, un màxim de $18,50\text{ €}$), aportació nutricional mínima necessària i quantitats mínimes de consum ($x \ge 0,5$, $y \ge 1,0$).

3. Fase 3 (Representació a GeoGebra): Introdueix el sistema a GeoGebra, ombreja el conjunt de solucions (regió factible) i identifica de manera exacta les coordenades de tots els seus vèrtexs.

4. Fase 4 (Proposta raonada): Elabora un informe breu d'una pàgina amb la taula de dades, la captura gràfica i la tria justificada de dues combinacions possibles de compra, comparant-ne una situada en un vèrtex amb una altra a l'interior del recinte.

Es valorarà:

• Precisió en el plantejament algebraic del sistema i l'ús d'unitats amb dades reals.

• Delimitació correcta de la regió factible i càlcul dels vèrtexs a GeoGebra.

• Interpretació crítica i justificació matemàtica de les solucions proposades a l'informe.