Formes de comptar
Abans de poder calcular una probabilitat necessites saber quants casos hi ha, i comptar-los un per un no és una opció quan es parla de codis d'accés, contrasenyes o sortejos amb milers de possibilitats. A 1r de Batxillerat ja vas fer servir aquestes tècniques de manera intuïtiva; aquí els poses nom, fórmula i un criteri clar per saber quina aplicar en cada situació. És la base de tot el que ve després en probabilitat.
El principi de recompte
A la cafeteria d'un institut, el menú del dia permet triar entre 3 primers plats, 4 segons plats i 2 postres. De quantes formes distintes pot un estudiant configurar el…
A la cafeteria d'un institut, el menú del dia permet triar entre 3 primers plats, 4 segons plats i 2 postres. De quantes formes distintes pot un estudiant configurar el seu dinar complet compost per un primer, un segon i unes postres?
Variacions amb repetició: quan es pot repetir
Un codi de mòbil permet repetir xifres: després d'usar un $7$, el $7$ continua disponible per a la posició següent. En aquest cas el principi de recompte se simplifica perquè totes les etapes tenen el mateix nombre d'opcions.
Per entrar en una aplicació mòbil, un usuari ha de crear un codi de seguretat de 4 dígits. Si el sistema permet repetir els nombres i utilitza els dígits del $0$ al $9$,…
Per entrar en una aplicació mòbil, un usuari ha de crear un codi de seguretat de 4 dígits. Si el sistema permet repetir els nombres i utilitza els dígits del $0$ al $9$, quants codis de seguretat diferents es poden generar?
Per millorar la seguretat dels taquillers intel·ligents d'un institut, el sistema requereix un codi d'accés de $4$ dígits. Tanmateix, per evitar combinacions òbvies, el…
Per millorar la seguretat dels taquillers intel·ligents d'un institut, el sistema requereix un codi d'accés de $4$ dígits. Tanmateix, per evitar combinacions òbvies, el sistema imposa les condicions següents: el primer dígit ha de ser senar, l'últim ha de ser parell (considerant el $0$ com a parell) i no es pot repetir cap dígit en el codi. Quants codis diferents es poden generar seguint aquestes regles?
Variacions sense repetició
Si en comptes d'un codi és un podi (1r, 2n, 3r) amb participants diferents, cada posició ja triada deixa d'estar disponible per a les següents: les opcions es van reduint.
Un grup de 10 amics decideix organitzar un torneig de videojocs. Els premis s'atorgaran al primer, segon i tercer classificat. Sabent que no hi pot haver empats, de…
Un grup de 10 amics decideix organitzar un torneig de videojocs. Els premis s'atorgaran al primer, segon i tercer classificat. Sabent que no hi pot haver empats, de quantes maneres diferents es poden repartir aquests tres trofeus?
Una marca de roba urbana vol llançar una edició limitada de dessuadores. Tenen $3$ dessuadores vermelles idèntiques, $2$ dessuadores blaves idèntiques i $4$ dessuadores…
Una marca de roba urbana vol llançar una edició limitada de dessuadores. Tenen $3$ dessuadores vermelles idèntiques, $2$ dessuadores blaves idèntiques i $4$ dessuadores negres també idèntiques. Per a una sessió de fotos, han de col·locar totes aquestes dessuadores en fila sobre un tauler. De quantes maneres diferents es poden disposar les dessuadores atenent únicament al seu color?
Permutacions: ordenar tots els elements
Si en comptes de triar $k$ de $n$ elements els ordenes tots, ets davant d'un cas particular de variació sense repetició amb $k=n$.
Una prestatgeria té espai per col·locar exactament 6 llibres de text de diferents assignatures de 2n de Batxillerat. De quantes formes distintes es poden ordenar aquests…
Una prestatgeria té espai per col·locar exactament 6 llibres de text de diferents assignatures de 2n de Batxillerat. De quantes formes distintes es poden ordenar aquests 6 llibres a la balda si volem que tots quedin alineats l'un al costat de l'altre?
En una competició regional d'E-sports (videojocs competitius) hi participen $12$ equips. Els organitzadors han de lliurar una medalla d'or, una de plata i una de bronze…
En una competició regional d'E-sports (videojocs competitius) hi participen $12$ equips. Els organitzadors han de lliurar una medalla d'or, una de plata i una de bronze als tres primers classificats.
- a) De quantes formes diferents pot quedar el podi de la competició?
- b) Si sabem que l'equip local "Los Gamers" sempre queda entre els tres primers, de quantes formes es pot completar el podi ara?
Permutacions amb elements repetits
Què passa si en ordenar hi ha elements que són indistingibles entre si, com dues lletres iguals en una paraula? Algunes de les $n!$ ordenacions resulten idèntiques, de manera que cal dividir per no comptar-ne de més.
Un grup de $15$ alumnes de $2º$ de Batxillerat està organitzant la festa de graduació. Han de triar un comitè format per $4$ persones per encarregar-se de la música i el…
Un grup de $15$ alumnes de $2º$ de Batxillerat està organitzant la festa de graduació. Han de triar un comitè format per $4$ persones per encarregar-se de la música i el menjar.
- a) Quants comitès diferents es poden formar?
- b) Si en el grup hi ha $8$ noies i $7$ nois, quants d'aquests comitès estarien formats per $2$ noies i $2$ nois?
Un estudi d'arquitectura està dissenyant una urbanització amb 7 parcel·les idèntiques en línia. Han de plantar arbres de tres espècies diferents: roures, pins i alzines.…
Un estudi d'arquitectura està dissenyant una urbanització amb 7 parcel·les idèntiques en línia. Han de plantar arbres de tres espècies diferents: roures, pins i alzines. Per raons estètiques i biològiques, s'han de complir els requisits següents:
-
En cada parcel·la només es planta un arbre.
-
Hi ha d'haver almenys un arbre de cada espècie.
-
No hi pot haver dos pins en parcel·les contigües.
Calcula el nombre total de formes diferents en què es poden distribuir els arbres en les 7 parcel·les.