Optimització de funcions

Calcula dos nombres reals no negatius la suma dels quals sigui exactament $20$, de manera que el producte d'ambdós sigui el més gran possible.

Una empresa d'accessoris per a mòbils ha determinat que el benefici mensual $B(x)$, expressat en euros, en vendre $x$ fundes personalitzades ve donat per la funció:

$B(x) = -x^2 + 120x - 500$

Quantes fundes s'han de vendre per obtenir el benefici màxim? A quant ascendeix aquest benefici?

La visibilitat d'una publicació en una xarxa social (mesurada en nombre de m'agrada) durant les primeres $10$ hores després de penjar-la segueix la funció:

$V(t) = 20t^2 - 2t^3$

on $t$ és el temps en hores ($0 \le t \le 10$). En quin moment assoleix la publicació el seu pic màxim de visibilitat?

Un grup d'estudiants vol tancar una zona rectangular al pati de l'institut per a un mercat solidari. Si disposen de $40$ metres de tanca en total, determina les dimensions del rectangle (longitud i amplada) que tanquen l'àrea màxima possible.

Es vol construir un marc de fusta rectangular per a un cartell publicitari que ha de tenir una àrea de $16$ $m^2$. Calcula les dimensions del cartell perquè el cost de la fusta del marc sigui mínim (és a dir, perquè el perímetre sigui mínim).

Un jove programador està dissenyant una aplicació de gestió de temps. Ha determinat que la productivitat d'un usuari, mesurada en "punts de foc", segueix la funció $P(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de l'inici de la jornada laboral ($0 \le t \le 8$). Calcula en quin moment del dia l'usuari assoleix la seva productivitat màxima i quants punts obté en aquest instant.

Es vol dissenyar un envas de cartró amb forma de prisma rectangular de base quadrada i sense tapa superior per a un nou model de tauleta. El volum de l'envas ha de ser d'exactament $2000 \text{ cm}^3$. Troba les dimensions de l'envas (costat de la base i altura) que minimitzen la quantitat de cartró emprada en la seva fabricació.

Un dron de repartiment s'ha de desplaçar des d'un punt de càrrega $A(0, 4)$ fins a un magatzem $B(10, 2)$. Per optimitzar la seva bateria, el dron ha d'aterrar en un punt $P(x, 0)$ sobre una plataforma de càrrega sense fil situada a l'eix d'abscisses, i des d'allà continuar cap a $B$.

La funció de cost energètic total ve donada per la distància recorreguda: $E(x) = \sqrt{x^2 + 16} + \sqrt{(10-x)^2 + 4}$. Troba la posició exacta del punt $P$ que minimitza el consum total d'energia.

Una empresa de tecnologia ha llançat una nova xarxa social. El nombre d'usuaris actius, mesurat en milions, segueix la funció $U(t) = \frac{40t^2}{e^{0,5t}}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament ($t \geq 0$). Simultàniament, els costos de manteniment mensuals, en milers d'euros, vénen donats per $C(t) = 10t + 5$. Per equiparar escales, treballarem amb $\frac{C(t)}{100}$ i definirem la diferència $D(t) = U(t) - \frac{C(t)}{100}$.

1. a) Determina en quin mes el nombre d'usuaris actius assoleix el seu màxim nivell i calcula quants milions d'usuaris hi ha en aquest moment.

1. b) Calcula $D'(t)$ i estudia'n el signe amb l'ajuda de la calculadora, provant per exemple $t = 3,9$ i $t = 4$. Indica entre quins dos valors es troba el moment en què la diferència $D(t)$ és màxima i a quin mes correspon aproximadament.

1. c) Justifica si el màxim de $U(t)$ és absolut analitzant el valor de $U(0)$ i el comportament de la funció a llarg termini, és a dir, $\lim_{t\to+\infty} U(t)$.

La figura mostra les gràfiques de $U(t)$ i de $\frac{C(t)}{100}$.

Un estudi de mercat per a una nova aplicació d'entrenament personalitzat determina que el benefici mensual $B(x)$, en centenars d'euros, depèn del preu de la subscripció $x$ (en euros), segons la funció:

$B(x) = (x - 5)^2 \cdot \ln(x - 4)$ per a $x > 4$.

Calcula el preu de subscripció que maximitza el benefici en l'interval $[6, 15]$. Comprova si en aquest interval existeix algun punt d'inflexió que indiqui un canvi en la tendència del creixement dels beneficis.