Integració de fraccions racionals
Un cost marginal, un ritme de contagi, una velocitat de creixement: molts models econòmics i socials s'escriuen com un quocient de polinomis $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. Aquest quocient no és a la taula d'integrals immediates, així que la feina consisteix a transformar-lo en una suma de peces que sí que hi siguin. Quines peces surten depèn del grau de $P$ i de les arrels de $Q$.
Divisió prèvia: quan el numerador no és «més petit»
Abans de descompondre res, mira els graus. Si el numerador té grau igual o més gran que el denominador, la fracció encara no és «pròpia».
Quan el grau del numerador és major o igual que el del denominador, hem de fer una divisió polinòmica prèvia. Fes la divisió i calcula la integral de la funció següent:…
Quan el grau del numerador és major o igual que el del denominador, hem de fer una divisió polinòmica prèvia. Fes la divisió i calcula la integral de la funció següent:
$$\int \frac{x + 5}{x + 2} \, dx$$Troba una funció primitiva $F(x)$ de $f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}$ que compleixi la condició que la seva gràfica passi pel punt $(3, \ln 5)$. Pista: Fes…
Troba una funció primitiva $F(x)$ de $f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}$ que compleixi la condició que la seva gràfica passi pel punt $(3, \ln 5)$. Pista: Fes primer la divisió polinòmica.
El numerador és (quasi) la derivada del denominador
Abans de llançar-te a descompondre en fraccions simples, comprova sempre aquest cas particular: de vegades el numerador ja és (o s'assembla molt a) la derivada del denominador. Llavors tota la fracció s'integra d'un cop, sense buscar arrels.
Calcula la integral indefinida de la funció $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}$. Pista: Observa si el numerador és la derivada del denominador.
Calcula la integral indefinida de la funció $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}$. Pista: Observa si el numerador és la derivada del denominador.
Calcula el valor de la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx$ utilitzant el canvi de variable $e^x = t$. Un cop fet el canvi, resol…
Calcula el valor de la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx$ utilitzant el canvi de variable $e^x = t$. Un cop fet el canvi, resol la integral racional resultant.
Arrels reals simples: una fracció per cada arrel
Quan el numerador no és la derivada del denominador, factoritza el denominador en arrels i planteja una fracció per cadascuna.
Les empreses fan servir constantment l'expressió «cost total a partir del cost marginal»: si $C'(x)$ és racional, $C(x)$ surt integrant.
Per resoldre integrals racionals pel mètode de descomposició en fraccions simples, primer hem de descompondre el denominador. Calcula la integral següent sabent que el…
Per resoldre integrals racionals pel mètode de descomposició en fraccions simples, primer hem de descompondre el denominador. Calcula la integral següent sabent que el denominador ja està factoritzat:
$$\int \frac{1}{(x - 2)(x - 5)} dx$$Calcula la integral indefinida de la funció racional següent descomponent-la prèviament en fraccions simples: $$\int \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} dx$$ Per a resoldre'ho,…
Calcula la integral indefinida de la funció racional següent descomponent-la prèviament en fraccions simples:
$$\int \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} dx$$Per a resoldre'ho, identifica primer les arrels del denominador i descompon l'integrand en la forma $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}$.
Determina els valors dels paràmetres reals $A$ i $B$ perquè es verifiqui la següent igualtat de descomposició en fraccions simples: $$\frac{x + 11}{x^2 - 2x - 15} =…
Determina els valors dels paràmetres reals $A$ i $B$ perquè es verifiqui la següent igualtat de descomposició en fraccions simples:
$$\frac{x + 11}{x^2 - 2x - 15} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 3}$$Un cop trobats, calcula la integral indefinida de la funció original.
Arrels reals múltiples
Si una arrel es repeteix, cal una fracció per cada potència, no només una.
Calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9}$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 4$ i $x = 6$. Nota…
Calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9}$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 4$ i $x = 6$.
Nota que el denominador presenta una arrel real doble. Utilitza la descomposició adequada per a aquest cas.
Donada la funció $f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$, determina l'àrea del recinte limitat per la corba, l'eix d'abscisses i les rectes verticals $x = 2$ i $x = 3$. Presenta el…
Donada la funció $f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$, determina l'àrea del recinte limitat per la corba, l'eix d'abscisses i les rectes verticals $x = 2$ i $x = 3$. Presenta el resultat final utilitzant un únic logaritme.
Determina els valors dels paràmetres $A$, $B$ i $C$ perquè la funció $F(x) = A \cdot \ln|x+1| + B \cdot \ln|x-2| + \dfrac{C}{x-2}$ sigui una primitiva de…
Determina els valors dels paràmetres $A$, $B$ i $C$ perquè la funció $F(x) = A \cdot \ln|x+1| + B \cdot \ln|x-2| + \dfrac{C}{x-2}$ sigui una primitiva de $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-2)^2}$.