Propietats de les integrals

En l'estudi de l'impacte ambiental d'una fàbrica, s'ha obtingut una funció $f(x)$ que mesura l'emissió de gasos. Se sap que la integral definida en un interval coincideix amb l'àrea si la funció és positiva.

Suposa que $f(x)$ és contínua i no canvia de signe en l'interval $[2, 6]$. Si sabem que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = -15$, què podem afirmar sobre la posició de la gràfica de la funció $f(x)$ respecte a l'eix $OX$ en aquest interval? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats del signe de la integral.

Un grup d'estudiants està dissenyant un logotip per a la seva graduació. La part superior del logotip segueix la corba d'una funció $f(x)$. Sabem que:

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{5}^{8} f(x) \, dx = 7$

Calcula, aplicant la propietat d'aditivitat de l'interval, el valor de la superfície total sota la corba des de $x=1$ fins a $x=8$.

El flux d'aigua en un dipòsit d'una granja ecològica varia al llarg del matí seguint una funció contínua $f(t)$. Els sensors de mesurament han registrat les següents dades de flux acumulat (en m³):

1. $\int_{2}^{8} f(t) dt = 24$

2. $\int_{5}^{8} f(t) dt = 9$

Calcula, utilitzant les propietats dels límits d'integració, el valor de:

Un estudi de mercat per a una nova aplicació mòbil estima que el ritme de benefici net mensual (en milers d'euros) ve donat per una funció contínua $B(t)$. Després d'analitzar les dades del primer any, s'observa que:

• El benefici acumulat del primer semestre és $\int_{0}^{6} B(t) dt = 40$.

• El benefici acumulat del segon semestre és $\int_{6}^{12} B(t) dt = 55$.

Si el CEO de l'empresa decideix aplicar un impost del 10% sobre el ritme de benefici (la qual cosa equival a multiplicar la funció per $0,9$) i a més hi ha uns costos de manteniment constants de $1$ mil euro al mes, planteja i calcula la integral que representa el benefici final real de l'empresa en acabar l'any:

Raona, sense necessitat de fer cap càlcul de primitives, per què el valor de la integral definida següent és exactament zero. Per a fer-ho, observa la simetria de la funció respecte de l'origen (funció senar) i els límits d'integració:

En el disseny d'un nou logotip per a una marca de roba "skate", s'utilitza una funció parell $f(x)$ per dibuixar la part superior d'una simetria. Es sap que l'àrea envoltada per aquesta funció i l'eix $OX$ entre el centre ($x=0$) i l'extrem dret ($x=4$) és de 12 unitats d'àrea.

Sabent que $f(x)$ és una funció parell ($f(x) = f(-x)$), calcula el valor de la integral definida següent recolzant-te en les seves propietats:

Nota: Recorda el comportament de les funcions senars en intervals simètrics.

Demostra, utilitzant les propietats de comparació i monotonia de la integral definida, que el valor de la integral $I = \int_0^1 e^{x^2} \, dx$ es troba acotat entre els valors $1$ i $e$.

És a dir, justifica sense calcular la primitiva (que no és elemental) per què es compleix que:

Com canviarien aquestes fites si l'interval d'integració fos $[0, 0,5]$? Justifica la teva resposta.

Sigui la funció $F(x)$ definida mitjançant una integral de la forma següent:

Sense necessitat de calcular la integral, utilitza el Teorema Fonamental del Càlcul i la regla de la cadena per determinar:

1. a) L'expressió de la derivada $F'(x)$.
2. b) El valor de $F'(1)$ i explica el seu significat físic si $F(x)$ representés el benefici acumulat d'una inversió després de $x$ anys.

Donada la gràfica de la funció contínua $f(x)$ que es mostra a continuació, defineix la funció integral $G(x) = \int_{-2}^{x} f(t) \, dt$ en l'interval $[-2, 4]$.

Basant-te en les propietats de la funció integral i l'observació de la gràfica:

1. a) Indica els intervals on $G(x)$ és creixent i decreixent.
2. b) Determina en quin valor de $x$ assoleix $G(x)$ el seu màxim absolut en l'interval $[-2, 4]$.
3. c) Quin és el valor de la derivada $G'(0)$?