Probabilitats d'una N(0,1)

Un estudi sobre el temps que els joves passen en una coneguda xarxa social de vídeos curts determina que, una vegada tipificades les dades, la variable segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. Si seleccionem un usuari a l'atzar, calcula la probabilitat que el seu temps d'ús sigui menor o igual a $1,45$ unitats tipificades. Utilitza la representació gràfica per identificar l'àrea sol·licitada.

En un estudi sobre el rendiment d'una nova intel·ligència artificial, s'han estandarditzat els temps de resposta seguint una distribució normal mínima $N(0,1)$. Calcula les probabilitats següents utilitzant la taula de la distribució normal:

1. La probabilitat que un temps estandarditzat sigui superior a $1,32$; és a dir, $P(Z > 1,32)$.

2. La probabilitat que el temps es trobi per sota de $-0,45$; és a dir, $P(Z < -0,45)$.

En un torneig d'e-sports, el temps de reacció dels jugadors professionals s'ha normalitzat perquè segueixi una distribució $N(0,1)$. Si es considera "temps de reacció lent" qualsevol valor per sobre de $0,82$, troba la probabilitat que un jugador triat a l'atzar tingui un temps de reacció lent, és a dir, calcula $P(Z > 0,82)$.

La puntuació en un test d'aptitud musical per a adolescents segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. El departament de música d'un institut decideix reforçar aquells alumnes la puntuació tipificada dels quals sigui inferior a $-1,2$. Quina és la probabilitat que un alumne seleccionat a l'atzar necessiti aquest reforç?

Una aplicació d'idiomes registra el progrés diari dels usuaris. La millora en el vocabulari, després de tipificar les dades, s'ajusta a una normal $N(0,1)$. Calcula la probabilitat que un usuari millori el seu vocabulari en un interval comprès entre $0,5$ i $1,5$ unitats tipificades.

Donada una variable aleatòria contínua que segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$, calcula la probabilitat que la variable prengui valors en l'interval $[-1,1, 0,4]$. Recorda que per resoldre aquest tipus d'intervals has d'aplicar la fórmula:

Donada una variable aleatòria contínua $Z$ que segueix una distribució normal estàndard $N(0,1)$, troba el valor de la constant positiva $k$ que satisfà cadascuna de les condicions següents:

1. $P(Z \leq k) = 0,8708$

2. $P(Z > k) = 0,0228$

En una fàbrica de sabatilles d'esport, el control de qualitat de la resistència de la sola es realitza mitjançant una variable tipificada $Z \sim N(0,1)$. Els enginyers volen identificar el valor $k$ positiu tal que la probabilitat que una sola tingui una resistència menor o igual a $k$ sigui de $0,975$. Cerca a la taula de la normal estàndard aquest valor de $k$.

El temps d'espera a la cua d'un festival de música, mesurat de forma tipificada, segueix una distribució $N(0,1)$. Els organitzadors volen determinar un interval central $(-k, k)$ que contingui el $95\%$ dels assistents. Sabent que $P(-k \le Z \le k) = 0,95$, utilitza la simetria de la campana de Gauss per trobar el valor crític $z_{\alpha/2}$ corresponent.

En un estudi sobre l'eficiència d'un nou algorisme de recomanació d'una xarxa social, s'ha determinat que el temps de permanència addicional dels usuaris segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. Si la plataforma vol identificar el grup d'usuaris "ultraactius", que són aquells el temps tipificat dels quals es troba en un interval simètric respecte a la mitjana que tanca exactament el 88,82 % de la població, calcula el valor crític $k$ que defineix els límits d'aquest interval.