Mitjana i desviació típica de la binomial

Un estudi recent sobre hàbits digitals indica que el $85\%$ dels adolescents espanyols d'entre 15 i 16 anys utilitza l'autenticació de dos factors en els seus comptes de videojocs. Si seleccionem una mostra aleatòria de $20$ adolescents:

1. a) Identifica els paràmetres $n$ i $p$ de la distribució binomial que modelitza aquesta situació.
2. b) Calcula el nombre esperat (mitjana) d'adolescents que utilitzen aquest sistema de seguretat en la mostra.

Una plataforma de streaming de música ha comprovat que la probabilitat que un usuari "salti" una cançó recomanada per l'algorisme abans que acabi és de $0,3$. Si una tarda escoltes una llista de $12$ cançons recomanades:

1. a) Determina la mitjana i la variància del nombre de cançons que s'espera que saltis.
2. b) Calcula la desviació típica i interpreta quina informació aporta sobre la dispersió de les dades en aquest context.

Es llança un dau equilibrat de sis cares un total de $30$ vegades i s'anota el nombre de vegades que surt el número "6".

1. a) Defineix la variable aleatòria i la seva distribució.
2. b) Calcula el valor esperat de la variable i la seva desviació típica. Arrodoneix els resultats a dos decimals.

Dos jugadors de bàsquet, l'Alba i en Bruno, practiquen tirs lliures. L'Alba té una probabilitat d'encert de $0,8$ i realitza $50$ llançaments. En Bruno té una probabilitat de $0,6$ però realitza $80$ llançaments.

1. a) Quin dels dos jugadors té un nombre esperat d'encerts més gran?

1. b) Quin dels dos jugadors presenta una dispersió més gran (desviació típica) en els seus resultats? Interpreta què significa això en termes de regularitat en el joc.

S'ha comprovat que el $40\%$ dels alumnes d'un centre d'idiomes es presenten a l'examen oficial de nivell B2. Si aquest any hi ha matriculats $100$ alumnes:

1. a) Determina els paràmetres de la variable $X$ que defineix el nombre d'alumnes que es presenten a l'examen.

1. b) En les distribucions binomials, es considera que els valors més "típics" o probables es troben en l'interval $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$. Calcula aquest interval per a aquest cas concret.

En una coneguda xarxa social, s'ha estimat que la probabilitat que un usuari interaccioni amb una publicació de contingut cultural és $p = 0,18$. Si un "influencer" llança una campanya que arriba a un grup de $n = 150$ seguidors:

1. a) Calcula el nombre esperat de seguidors que interaccionaran amb la publicació i la seva desviació típica.

1. b) Si el cost de la campanya és de $50$ € fixos més $2$ € per cada interacció prevista (basada en la mitjana), quin és el pressupost esperat per a aquesta acció publicitària?

Una variable aleatòria discreta segueix una distribució binomial $X \sim B(n, p)$. Es sap que la seva mitjana és $\mu = 12$ i la seva desviació típica és $\sigma = 3$.

1. a) Determina els valors dels paràmetres $n$ (nombre d'assajos) i $p$ (probabilitat d'èxit).

1. b) Justifica si aquesta distribució es podria aproximar mitjançant una distribució normal, basant-te en els valors obtinguts.

En una enquesta sobre hàbits de lectura realitzada a $60$ adolescents, es sap que el nombre esperat de lectors habituals de premsa digital és de $21$.

1. a) Troba la probabilitat $p$ que un adolescent triat a l'atzar sigui lector habitual de premsa digital.

1. b) Calcula la desviació típica d'aquesta distribució.

1. c) Si seleccionem una altra mostra on el nombre d'adolescents es duplica ($n=120$), com varia la desviació típica respecte a la mostra original? Justifica la teva resposta amb el càlcul.

En un estudi sobre l'ús de transport sostenible, s'ha observat que el nombre d'alumnes que van a l'institut amb patinet elèctric, en grups de $50$ persones, segueix una distribució binomial $B(50,\,p)$, on $p$ és la probabilitat que un alumne faci servir patinet elèctric. La desviació típica d'aquest nombre d'usuaris és $\sigma = 3$.

La figura mostra com varia la desviació típica $\sigma=\sqrt{50\,p\,(1-p)}$ en funció de $p$ i la recta $\sigma = 3$.

1. a) Troba els dos possibles valors de la probabilitat $p$ que un alumne faci servir patinet elèctric.

1. b) Si se sap que el patinet és un transport minoritari ($p < 0,5$), calcula la mitjana d'usuaris en una mostra de $100$ alumnes.

Sigui $X$ una variable aleatòria que segueix una distribució binomial $B(n, p)$. Es sap que la seva mitjana és $\mu = 30$.

1. a) Quin és el valor mínim que pot prendre la seva desviació típica? Justifica la resposta raonant sobre els possibles valors de $p$.
2. b) Si la desviació típica és $\sigma = 5$, calcula la probabilitat d'obtenir algun èxit en una mostra de només $3$ individus d'aquesta mateixa població.