Integrals semiimmediates
$\displaystyle\int (3x-4)^5\,dx$ no és literalment a la taula, però s'hi assembla molt: és una potència, només que elevada no a $x$ sinó a $3x-4$. Aquestes integrals s'anomenen semiimmediates: amb un petit ajust de constants, es resolen amb la mateixa taula d'abans.
Argument lineal: quan a dins hi ha $ax+b$
Calcula la següent integral indefinida d'una funció potencial composta, realitzant l'ajust de la constant necessària perquè l'integrand coincideixi amb la derivada de la…
Calcula la següent integral indefinida d'una funció potencial composta, realitzant l'ajust de la constant necessària perquè l'integrand coincideixi amb la derivada de la funció interna:
$$\int (3x - 4)^5 \, dx$$Troba la primitiva de la funció exponencial la derivada de la qual requereix un petit ajust numèric en el coeficient: $$\int e^{2x + 3} \, dx$$
Troba la primitiva de la funció exponencial la derivada de la qual requereix un petit ajust numèric en el coeficient:
$$\int e^{2x + 3} \, dx$$Un creador de contingut ha analitzat que la taxa de creixement dels seus seguidors en una xarxa social segueix una funció marginal donada per $f'(x) = (2x + 5)^3$, on…
Un creador de contingut ha analitzat que la taxa de creixement dels seus seguidors en una xarxa social segueix una funció marginal donada per $f'(x) = (2x + 5)^3$, on $x$ representa el temps en mesos. Calcula la família de funcions primitives $F(x)$ que descriuen el nombre total de seguidors.
Tipus logarítmic: quan el numerador és (gairebé) la derivada del denominador
Determina la integral indefinida de la següent funció racional. Observa que el numerador és gairebé la derivada del denominador, per la qual cosa es tracta d'una…
Determina la integral indefinida de la següent funció racional. Observa que el numerador és gairebé la derivada del denominador, per la qual cosa es tracta d'una integral de tipus logarítmic:
$$\int \frac{1}{5x - 2} \, dx$$En l'estudi d'una campanya publicitària a les xarxes socials, s'ha determinat que el ritme de creixement dels seguidors d'un compte, $x$ dies després de començar la…
En l'estudi d'una campanya publicitària a les xarxes socials, s'ha determinat que el ritme de creixement dels seguidors d'un compte, $x$ dies després de començar la campanya, ve donat per la funció $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$, amb $x \geq 0$.
Calcula l'expressió general de la funció de seguidors totals $f(x)$, sabent que es tracta d'una integral de tipus logarítmic:
$$\int \frac{x}{x^2 + 9} \, dx$$Una empresa de missatgeria determina que el cost marginal d'enviar un paquet a una distància $x$ (en centenars de quilòmetres) ve donat per la funció…
Una empresa de missatgeria determina que el cost marginal d'enviar un paquet a una distància $x$ (en centenars de quilòmetres) ve donat per la funció $C'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}$. Determina la funció de cost total $C(x)$, sabent que hi ha uns costos fixos de gestió (quan $x=0$) de $10$ euros.
Tipus potencial i exponencial: $u^n\cdot u'$ i $e^u\cdot u'$
La velocitat de càrrega d'una bateria de grafè en un laboratori es comporta segons la funció $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, on $t$ és el temps en minuts. Calcula la funció…
La velocitat de càrrega d'una bateria de grafè en un laboratori es comporta segons la funció $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, on $t$ és el temps en minuts. Calcula la funció que representa l'energia total acumulada $E(t)$, tenint en compte que en l'instant inicial $t = 0$, l'energia acumulada és de $5$ unitats.
Resol la següent integral indefinida identificant l'estructura de la derivada d'una funció composta (tipus potència): $$\int (x^2 + 1) \cdot (x^3 + 3x - 2)^4 dx$$
Resol la següent integral indefinida identificant l'estructura de la derivada d'una funció composta (tipus potència):
$$\int (x^2 + 1) \cdot (x^3 + 3x - 2)^4 dx$$En un laboratori de biologia, s'estudia la propagació d'un bacteri. La taxa de variació de la població $P(t)$ en funció del temps $t$ (en hores) segueix la llei: $$P'(t)…
En un laboratori de biologia, s'estudia la propagació d'un bacteri. La taxa de variació de la població $P(t)$ en funció del temps $t$ (en hores) segueix la llei:
$$P'(t) = \frac{10t^2}{(t^3 + 8)^2}$$Si inicialment ($t=0$) hi ha $1.000$ bacteris, determina la població de bacteris al cap de $2$ hores.
Reconèixer el patró abans d'operar
Abans de posar-te a calcular, mira la funció i identifica: quina part fa de $u(x)$ (el que va elevat, a l'exponent, sota l'arrel o al denominador) i quina part fa de $u'(x)$ (el que l'acompanya)? Si encaixen llevat d'una constant, és semiimmediata.
Donada la funció $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$, es demana: a) Trobar la seva primitiva general $F(x)$, escrita en la forma $F(x) = \ldots + C$, on $C$ és la constant…
Donada la funció $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$, es demana:
- a) Trobar la seva primitiva general $F(x)$, escrita en la forma $F(x) = \ldots + C$, on $C$ és la constant d'integració.
- b) Determinar el valor de la constant $C$ perquè la primitiva compleixi que $F(0) = \ln(2) + 3$.
Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ que passa per l'origen de coordenades. A la figura tens la gràfica de $f$, que està definida a…
Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ que passa per l'origen de coordenades. A la figura tens la gràfica de $f$, que està definida a $(-1,\,1)$ i té asímptotes verticals en $x=-1$ i $x=1$. Pista: Intenta relacionar l'exponent del numerador amb el del denominador per identificar una estructura de tipus arcsinus.