Derivada d'una funció en un punt

Dada la funció polinòmica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula el valor de la seva derivada en el punt $x = 3$ utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit:

Utilitza la definició de derivada en un punt mitjançant el càlcul del límit:

per trobar el valor de la derivada de la funció $f(x) = \frac{3}{x-2}$ en el punt d'abscissa $x = 4$. Explica el significat geomètric del resultat obtingut en relació amb el pendent de la corba en aquest punt.

Una empresa de missatgeria ha comprovat que el cost d'enviament d'un paquet (en euros) depèn del seu pes $x$ (en kg) segons la funció $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calcula, usant la definició de derivada com a límit, la taxa de variació instantània del cost per a un paquet que pesa exactament $4$ kg i interpreta el resultat en termes econòmics (cost marginal).

Un creador de contingut ha observat que el nombre de seguidors del seu canal durant la primera setmana segueix la funció $f(t) = t^2 + 2t + 100$, on $t$ és el temps en dies.

Calcula la Taxa de Variació Mitjana (T.V.M.) del nombre de seguidors entre el segon dia ($t = 2$) i el cinquè dia ($t = 5$). Quin significat té aquest valor en el context del problema?

El nombre de descàrregues d'una nova aplicació de moda, en milers, ve donat per la funció $D(t) = 2t^2 - t$, on $t$ és el temps en hores des del seu llançament.

Calcula la velocitat instantània de descàrrega (la derivada) en l'instant $t = 4$ hores utilitzant el límit:

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = 3x^2 - 5$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Nota: Recorda que l'equació de la recta tangent ve donada per $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 5x + 2$ en el punt on la funció talla l'eix d'ordenades (eix $Y$).

Troba l'equació de la recta normal a la corba $f(x) = e^{x-1} + 2x$ en el punt d'abscissa $x = 1$. Recorda que la recta normal és perpendicular a la recta tangent en el punt de contacte.

Troba l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció $f(x) = e^{2x-4}$ en el punt on la gràfica talla la recta horitzontal $y = 1$. Recorda que la recta normal és perpendicular a la tangent en el punt de contacte.

Estudia la derivabilitat de la funció $f(x) = |x^2 - 4|$ en el punt $x = 2$ calculant les seves derivades laterals. Interpreta gràficament per què la funció no és derivable en aquest valor de l'abscissa.

Estudia la derivabilitat de la funció $f(x) = x \cdot |x - 2|$ en el punt $x = 2$. Per a fer-ho:

1. Expressa la funció com una funció definida a trossos.

2. Calcula les derivades laterals a $x = 2$ usant la definició de derivada.

3. Interpreta gràficament si el punt $(2, f(2))$ és un "punt angulós" o un punt de "transició suau".

Una empresa de logística ha modelitzat el cost de manteniment de la seva flota de furgonetes elèctriques mitjançant una funció $f(x)$ definida a trossos. Per assegurar que no existeixin canvis bruscos en els costos operatius, la funció ha de ser derivable en tot el seu domini. Determina els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable a $x = 1$:

Determina els punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 6x$ en els quals la recta tangent és horitzontal.

Ajuda: Una recta és horitzontal quan el seu pendent és igual a zero.

Determina els punts de la gràfica de la funció $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ en els quals la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 1 - 2x$.

Es considera la funció $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina el valor del paràmetre $k \neq 0$ perquè la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 1$ formi un angle de $135^\circ$ amb el sentit positiu de l'eix $OX$. Una vegada trobat $k$, escriu l'equació d'aquesta recta tangent.

La trajectòria d'un dron de repartiment segueix la corba $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (en hectòmetres). L'operador del dron vol programar una maniobra d'aproximació en línia recta des d'un punt $P(a, f(a))$ de la trajectòria, de tal manera que la recta tangent a la corba en aquest punt passi exactament per l'estació de càrrega, situada a l'origen de coordenades $(0,0)$.

Troba les coordenades dels possibles punts de tangència i les equacions d'aquestes rectes.